6.4
平面向量的应用 6.4.1
平面几何中的向量方法 6.4.2
向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力.
知识点一 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 思考 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？ 答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.③动量mv是数乘向量.④力所做的功就是作用力F与物体在力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积.
1.若△ABC 为直角三角形，则有AB→ ·BC → ＝0.( × ) 2.若向量AB→ ∥CD →，则 AB∥CD.( × ) 3.功是力 F 与位移 s 的数量积.( √ )
4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( √ )
一、利用向量证明平面几何问题 例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.
证明 方法一 设AD→＝a，AB→ ＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又DE→＝DA→＋AE→ ＝－a＋ b2 ， AF→ ＝AB → ＋BF → ＝b＋ a2 ， 所以AF→ ·DE →＝ b＋ a2·－a＋ b2 ＝－ a22 －34 a·b＋b 22
＝－ 12 |a|2 ＋ 12 |b|2 ＝0. 故AF→ ⊥DE →，即 AF⊥DE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF→ ＝(2,1)，DE →＝(1，－2).
因为AF→ ·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF→ ⊥DE →，即 AF⊥DE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤 ①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 跟踪训练 1 已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满足 2AC→ ＋CB → ＝0， (1)用OA→，OB→表示OC→； (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OCAD 是梯形. (1)解 因为 2AC→ ＋CB → ＝0， 所以 2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0， 2OC→－2OA→＋OB→－OC→＝0， 所以OC→＝2OA→－OB→. (2)证明 如图，DA→＝DO→＋OA→＝－ 12 OB→＋OA→＝ 12 (2OA→－OB→).
故DA→＝ 12 OC→.即 DA∥OC，且 DA≠OC，故四边形 OCAD 为梯形. 二、利用向量解决平面几何求值问题 例 2 如图，已知|p|＝2 2，|q|＝3，p，q 的夹角为 π4 ，若AB→ ＝5p＋2q，AC → ＝p－3q，D 为 BC的中点，则|AD→|＝________.
答案 152 解析 由题意知 2AD→＝AB→ ＋AC → ， 因为AB→ ＝5p＋2q，AC → ＝p－3q， 所以 2AD→＝AB→ ＋AC → ＝6p－q， 所以 2|AD→|＝|6p－q| ＝ 36×2 2 2 －12×2 2×3cos π4 ＋32 ＝15，所以|AD → |＝ 152.
反思感悟 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a| 2 ＝a 2 求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a＝(x，y)，则|a|＝ x 2 ＋y 2 . (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 跟踪训练 2 在△ABC 中，已知 A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则 BC 边上的中线 AD 的长是(
) A.2 5
B. 5 52
C.3 5
D. 7 52 答案 B 解析 ∵BC 的中点为 D 32 ，6 ，AD→＝ － 52 ，5 ， ∴|AD→|＝ 5 52. 三、向量在物理中的应用 例 3 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________ km/h. 答案 5 3 解析 如图所示，船速|v 1 |＝5 km/h，水流速度为 v 2 ，
实际航行方向 v 与水流方向 v 2 成 30°角， ∴|v 2 |＝|v 1 |tan 30°＝5 3(km/h). 反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 跟踪训练 3 一物体在力 F 1 ＝(3，－4)，F 2 ＝(2，－5)，F 3 ＝(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点 B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________. 答案 －40 解析 ∵F 1 ＝(3，－4)，F 2 ＝(2，－5)，F 3 ＝(3,1)，
∴合力 F＝F 1 ＋F 2 ＋F 3 ＝(8，－8). 又∵AB→ ＝(－1,4)， ∴F·AB→ ＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40.
1.在△ABC 中，若(CA→ ＋CB → )·(CA → －CB → )＝0，则△ABC(
) A.是正三角形
B.是直角三角形 C.是等腰三角形
D.形状无法确定 答案 C 解析 (CA→ ＋CB → )·(CA → －CB → )＝CA → 2 －CB → 2 ＝0，即|CA → |＝|CB → |，∴CA＝CB，则△ABC 是等腰三角形. 2.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(
) A.梯形
B.菱形 C.矩形
D.正方形 答案 A 解析 ∵AB→ ＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)， ∴AB→ ＝－ 32 CD→，∴AB→ 与CD →共线. 又|AB→ |≠|CD →|，∴该四边形为梯形. 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为 θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则 θ 的值为(
) A.30°
B.60°
C.90°
D.120° 答案 D 解析 作OA→＝F 1 ，OB→＝F 2 ，OC→＝－G(图略)， 则OC→＝OA→＋OB→， 当|F 1 |＝|F 2 |＝|G|时，△OAC 为正三角形， 所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°. 4.在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝ 13 AB→ ＋ 12 AC→ ，则 S △ ABDS △ ABC 等于(
) A. 23
B.13
C.16
D.12
答案 D
解析 因为AD→＝ 13 AB→ ＋ 12 AC→ ，所以点 D 在 AB 边的中位线上，从而有 S△ ABD ＝ 12 S △ ABC .
5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)，则AB→ ·AC → ＝________.
答案 1 解析 由已知得 A(1,0)，C(0,1)， 所以AB→ ＝(0,1)，AC → ＝(－1,1). 所以AB→ ·AC → ＝1.
1.知识清单：
(1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：要注意选择恰当的基底.
1.已知力 F 的大小|F|＝10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|＝14，F 与 s 的夹角为 60°，则 F 做的功为(
) A.7
B.10
C.14
D.70 答案 D 解析 F 做的功为 F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14× 12 ＝70. 2.已知点 A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC 是(
) A.等腰三角形
B.等边三角形 C.直角三角形
D.等腰直角三角形 答案 C
解析 AB→ ＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， AC→ ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， AB→ ·AC → ＝21－21＝0，∴AB → ⊥AC → . 则∠A＝90°， 又|AB→ |≠|AC → |， ∴△ABC 为直角三角形. 3.点 O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点 O 是△ABC 的(
) A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高所在直线的交点 答案 D 解析 ∵OA→·OB→＝OB→·OC→，∴(OA→－OC→)·OB→＝0， ∴OB→·CA→ ＝0，∴OB⊥AC. 同理 OA⊥BC，OC⊥AB，∴O 为三条高所在直线的交点. 4.在 Rt△ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OP→＝OA→＋ 12 (AB→ ＋AC → )，则|AP→ |等于(
) A.2
B.1
C. 12
D.4 答案 B 解析 ∵OP→＝OA→＋ 12 (AB→ ＋AC → )， ∴OP→－OA→＝ 12 (AB→ ＋AC → )，AP → ＝ 12 (AB→ ＋AC → )， ∴AP 为 Rt△ABC 斜边 BC 的中线.∴|AP→ |＝1. 5.在四边形 ABCD 中，若AC→ ＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为(
) A. 5
B.2 5
C.5
D.10 答案 C 解析 ∵AC→ ·BD →＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形 ABCD 的面积 S＝ 12 |AC→ ||BD →|＝ 12 × 5×2 5＝5.
6.已知点 A(1,1)，M(x，y)，且 A 与 M 不重合，若向量AM→与向量 a＝(1,2)垂直，则点 M 的坐标 x，y 之间的关系为________________. 答案 x＋2y－3＝0(x≠1) 解析 AM→·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0. 又 A 与 M 不重合，所以 x≠1. 7.一条河宽为 8 000 m，一船从 A 出发垂直航行到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为________ h. 答案 0.5 解析 v 实际 ＝v 船 ＋v 水 ＝v 1 ＋v 2 ，
|v 1 |＝20，|v 2 |＝12， ∴|v|＝ |v 1 | 2 －|v 2 | 2
＝ 20 2 －12 2 ＝16(km/h). ∴所需时间 t＝816 ＝0.5(h). ∴该船到达 B 处所需的时间为 0.5 h. 8.已知在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(AE→ ＋AF → )·BD →＝________. 答案 － 92
解析 如图，以 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，
则 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1). ∵E，F 分别为 BC，CD 的中点，∴E 2， 12，F(1,1)， ∴AE→ ＋AF → ＝3， 32，BD→＝(－2,1)，
∴(AE→ ＋AF → )·BD →＝3×(－2)＋ 32 ×1＝－92 . 9.已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，求使等式 x 2 OA→＋xOB→＋BC→ ＝0 成立的实数 x 的取值. 解 ∵BC→ ＝OC →－OB→， ∴x 2 OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0， 即OC→＝－x 2 OA→－(x－1)OB→， ∵A，B，C 三点共线， ∴－x 2 －(x－1)＝1，即 x 2 ＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1. 当 x＝0 时，x 2 OA→＋xOB→＋BC→ ＝0，BC → ＝0， 此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去. 故 x＝－1. 10.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东 30°，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东 30°，速度为|v 1 |＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v 2 |＝20 km/h，设帆船行驶的速度为 v，则 v＝v 1 ＋v 2 .由题意，可得向量 v 1 ＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10 3)，向量 v 2 ＝(20,0)，则 v＝v 1 ＋v 2 ＝(10,10 3)＋(20,0)＝(30,10 3)，所以|v|＝ 30 2 ＋10 3 2 ＝20 3(km/h).因为 tan α＝ 10 330＝33(α 为 v 和 v 2 的夹角，α 为锐角)，所以 α＝30°，所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.
11.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝4，点 E 为 AB 的中点，且DE→⊥AC→ ，则|DE →|等于(
)
A. 52
B.2 3 C.3
D.2 2 答案 B
解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系.
设|AD→|＝a(a>0)，则 A(0,0)，C(4，a)， D(0，a)，E(2,0)， 所以DE→＝(2，－a)，AC→ ＝(4，a). 因为DE→⊥AC→ ，所以DE →·AC→ ＝0， 所以 2×4＋(－a)·a＝0，即 a 2 ＝8. 所以 a＝2 2，所以DE→＝(2，－2 2)， 所以|DE→|＝ 2 2 ＋－2 2 2 ＝2 3. 12.若点 M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足 3AM→－AB→ －AC → ＝0，则△ABM 与△ABC 的面积之比为(
) A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.2∶5 答案 B 解析 如图，D 为 BC 边的中点，
则AD→＝ 12 (AB→ ＋AC → ). 因为 3AM→－AB→ －AC → ＝0， 所以 3AM→＝2AD→，所以AM→＝ 23 AD→， 所以 S △ ABM ＝ 23 S △ ABD ＝13 S △ ABC . 13.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.
答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F 1 ，F 2 ，则由题意得 F 1 ，F 2 与－G 都成 60°角， 且|F 1 |＝|F 2 |，F 1 ＋F 2 ＋G＝0. ∴|F 1 |＝|F 2 |＝|G|＝10 N， ∴每根绳子的拉力都为 10 N. 14.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF→ ＝2FO →，则FD→·FE→ ＝________.
答案 － 89
解析 FD→＝FO→＋OD→，FE→ ＝FO →＋OE→，且OD→＝－OE→， 所以FD→·FE→ ＝(FO →＋OD→)·(FO→＋OE→) ＝FO→ 2 －OD → 2 ＝ 19 －1＝－89 .
15.在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O 为坐标原点. (1)若△ABC 是直角三角形，求 t 的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求|OD→|的最小值. 解 (1)由题意得，AB→ ＝(t－4,2)，AC → ＝(2，t)， BC→ ＝(6－t，t－2)， 若∠A＝90°，则AB→ ·AC → ＝0，即 2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2； 若∠B＝90°，则AB→ ·BC → ＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0， ∴t＝6±2 2； 若∠C＝90°，则AC→ ·BC → ＝0， 即 2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解， ∴t 的值为 2 或 6±2 2.
(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AD→＝BC→ ， 设点 D 的坐标为(x，y)， 即(x－4，y)＝(6－t，t－2)， ∴ x＝10－t，y＝t－2，即 D(10－t，t－2)， ∴|OD→|＝ 10－t 2 ＋t－2 2 ＝ 2t 2 －24t＋104， ∴当 t＝6 时，|OD→|取得最小值 4 2. 16.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向. 解 如图，设水的速度为 v 1 ，风的速度为 v 2 ，v 1 ＋v 2 ＝a.可求得 a 的方向是北偏东 30°，a 的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为v 3 ，则 a＋v 3 ＝v，即 v 3 ＝v－a，由数形结合知，v 3 的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.
