静力学基础
静力学就是研究物体平衡一般规律得科学。这里所研究得平衡就是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。物体得静止状态就是物体运动得特殊形式、根据牛顿定律可知,物体运动状态得变化取决于作用在物体上得力。那么在什么条件下物体可以保持平衡,就是一个值得研究并有广泛应用背景得课题,这也就是静力学得主要研究内容。本章包括物体得受力分析、力系得简化、刚体平衡得基本概念与基本理论。这些内容不仅就是研究物体平衡条件得重要基础,也就是研究动力学问题得基础知识。
一、
力学模型
在实际问题中,力学得研究对象(物体)往往就是十分复杂得,因此在研究问题时,需要抓住那些带有本质性得主要因素,而略去影响不大得次要因素,引入一些理想化得模型来代替实际得物体,这个理想化得模型就就是力学模型。理论力学中得力学模型有质点、质点系、刚体与刚体系。
质点: :具有质量而其几何尺寸可忽略不计得物体。
质点系: :由若干个质点组成得系统。
刚体: :就是一种特殊得质点系,该质点系中任意两点间得距离保持不变。
刚体系:由若干个刚体组成得系统。
对于同一个研究对象,由于研究问题得侧重点不同,其力学模型也会有所不同。例如:在研究太空飞行器得力学问题得过程中,当分析飞行器得运行轨道问题时,可以把飞行器用质点模型来代替;当研分析飞行器在空间轨道上得对接问题时,就必须考虑飞行器得几何尺寸与方位等因素,可以把飞行器用刚体模型来代替、当研究飞行器得姿态控制时,由于飞行器由多个部件组成,不仅要考虑它们得几何尺寸,还要考虑各部件间得相对运动,因此飞行器得力学模型就就是质点系、刚体系或质点系与刚体系得组合体。
二、
基本定义
力就是物体间相互得机械作用,从物体得运动状态与物体得形状上瞧,力对物体得作用效应可分为下面两种。
外效应:力使物体得运动状态发生改变。
内效应:力使物体得形状发生变化(变形)。
对于刚体来说,力得作用效应不涉及内效应。刚体上某个力得作用,可能使刚体得运动状态发生变化,也可能引起刚体上其它力得变化。
例如一重为 W 得箱子放在粗糙得水平地面上(如图 1－１a 所示),人用力水平推箱子,当推力 F 为零时,箱子静止,只受重力W 与地面支撑力得作用、当推力由小逐步增大时,箱子可能还保持静止状态,但地面作用在箱子上得力就不仅仅就是支撑力,还要有摩擦力得作用(如图 1-1ｂ)。随着推力得逐步增大,箱子得运动状态就会发生变化,箱子可能平行移动,也可能绕 A 点转动,或既有移动又有转动。
静力学就就是要研究物体在若干个力作用下得平衡条件、为此,需要描述作用于物体上力得类型与有关物理量得定义等。
力系:作用在物体上若干个力组成得集合,记为。
力偶: 一种特殊得力系,该力系只有两个力构成,其中 (大小相等,方向相反),且两个力得作用线不重合。有时力偶也用符号表示,如图 1—２所示。
等效力系 :若力系与力系对同一刚体产生相同得作用效果(运动、约束力等),称这两个力系就是等效力系,记为。
平衡力系:不产生任何作用效果得力系。
例如一个刚体上没有力得作用并且在惯性系下处于静止,那么这个刚体将永远保持静止状态;若这个刚体在某个力系作用下仍然保持静止,这样得力系就就是平衡力系。由于平衡力系作用得效果与没有任何力作用得效果相同,所以平衡力系也称为 零力系、通常平衡力系表示成、 合力:与一个力系等效得力称为该力系得合力、记为
如力就是力系得合力,则力称为得分力、将一个力系用其合力来代替得过程称为力得合成,将合力代换成几个分力得过程称F
F’
d
M M (a) (b) (c)
图 1-2
为力得分解。
矢量矩: :设就是一个矢量,就是由参考点 O 到矢量始端得矢径(如图１－3a 所示),矢量对Ｏ点得矩定义为:
(1-1)
由上式可以瞧出,矢量矩也就是一个矢量。应用矢量矩得概念,如果把矢量置换成力得矢量,就是由 O 点到力得作用点得矢径(如图 1-３b 所示),就可以得到力对Ｏ点之矩得定义、 力对 O O 点得矩:。
设就是作用在某一刚体上得力系,力系得主矢与对 O 点得主矩定义成:
主矢:
,
主矩 :
一般情况,力系对不同点得主矩就是不相同得,设与分别就是力系对任意两点 A、B 得主矩,若用表示从Ｂ点到Ａ点得矢径,根据主矢与主矩得定义,利用矢量运算可以推导出得下列关系:
(１—2) 当力系给定后,力系得主矢就是一个不变量,称为 第一不变量。力系对某一点得主矩随着取矩点得不同而变化,并有关系式(１—2),将该式两边点积力系得主矢可得
由于 A、B 就是任意两点,这说明力系对任意一点得主矩与力系主矢得点积就是一个不变量,这个量称为 第二不变量、
力偶就是一种特殊得力系(如图 1－2 所示),这个力系得主矢,由(1-2)式可知,力偶对任意点得主矩都就是相同得、因此我们把力偶对任意一点得主矩称为 力偶矩,力偶矩得矢量运算可根据力系对某点 O 得主矩定义得到:
(1-3) 三、
静力学公理
静力学公理就是从实践中得到得,就是静力学得基础。根据这些公理并利用数学工具可以推导出力系得平衡条件、
公理一(二力平衡原理)刚体在二个力作用下平衡得充分必要条件就是此二力大小相等,方向相反,作用线重合。该原理还可表示成、
对于刚体,二力平衡原理总就是成立得,但对于非刚体(变形体或某些刚体系)则不一定成立、例如图 1-４ａ所示得系统,在Ａ、B 两点作用有等值、反向、共线得两个力,当这两个力得大小均为(其中为常值)时,此时系统就是不平衡得,因为即使系统得初始状态就是静止得,那么在这两个力得作用下,系统得运动状态会发生变化。如果把弹簧换为刚性连杆(图１—４b),则系统可视为一个刚体。在这两个力得作用下,系统得运动状态不会发生变化(若初始静止,在这个力系得作用下还将保持静止)。
公理二(加减平衡力系原理)在作用于刚体上得任意力系中,加上或减去任何平衡力系,都不改变原力系对刚体得作用效应。该原理可表示成:
若,则
公理三(力得平行四边形合成法则)作用在物体上某一点得两个力可以用作用在该点得一个合力来代替,此合力得大小与方向可由这两个力为邻边所构成得平行四边形得对角线来确定。
公理四(作用与反作用定律)任何两个物体间得相互作用力总就是同时存在,并且等值、反向、共线,分别作用在两个物体上。
公理四实际上就就是牛顿第三定律,该定律与参考系得选取无关,也就就是说,对于惯性参考系与非惯性参考系,公理四都F F
F
F
A
B
A
B
（a）
(b)
图 1－4
O
O
就是成立得。
公理五(刚化原理)变形体在某一力系作用下处于平衡时,如将该变形体刚化为刚体,则平衡状态保持不变、 图1-4a所示系统,如果在两个力作用下处于平衡,那么若使弹簧刚度系数,也就就是将弹簧换成刚性杆(如图1—４ｂ所示),系统仍然可以保持平衡。但反之不成立。公理五说明,刚体得平衡条件,只就是变形体平衡得必要条件,而不就是充分条件。
上述 5 个公理中,有些对刚体就是成立得,有些对物体就是成立得,对物体成立得公理对刚体一定成立,反之则不然。
四、
约束与约束力
工程中得一些物体可在空间自由运动,这些物体称为自由体,例如空中得飞机、卫星等。另一些物体其运动受到某些限制,这些物体称为非自由体,如跑道上得飞机、公路上得汽车、铁道上得火车等。
约束:限制物体运动得条件、 构成约束得物体称为约束体,约束体对物体得作用力称为约束力、那些大小与方向与约束无关得力称为主动力、
工程中常见得约束有柔索类约束、光滑面约束、各种铰链约束、二力杆约束与固定端约束等。不同类型得约束,对物体运动得限制条件则不同,所产生得约束力得方向也有所不同,如绳索产生得约束力就是沿着绳索得方向,且只能受拉力;二力构件产生得约束力得方向就是沿二力构件上两个力得作用点得连线,既可以受拉力也可以受压力;除滑动铰链支座外,铰链得约束力得方向就是不能确定得;固定端得约束力实际上就是一个分布力(可简化成一个力与一个力偶)。掌握各种类型约束得特点,画出研究对象得受力图,就是研究力学问题(包括静力学与动力学)得必要基础。值得注意得就是,约束力(或力偶)就是根据约束类型得特点画得,除绳索与光滑面约束外,仅根据约束类型得特点,无法确定约束力(或力偶)得具体方向,更不能确定其大小,只有利用平衡原理或平衡条件才能最终确定它们得大小与方向。
五、
静力学定理
在此,我们把由静力学中得定义与公理(或定律)推出得一些结论称为定理。
定理１作用在刚体上得力沿其作用线移动到任一点,不改变其作用效应。
这个定理实际上就是公理一与公理二得推论。对于物体,力得作用效应与力得三要素(大小、方向与作用点)有关、根据定理１可知,作用在刚体上得力,其三要素就是力得大小、方向与作用线,力对刚体得作用效应则与这三个要素有关。对同一个刚体而言,力得三个要素不同,力得作用效应也就不同。力可以用矢量表示为
,
,
其中为力在 x、y、ｚ轴上得投影,或表示力矢量得模,为力矢量与三个坐标轴得夹角。因此,力这个矢量得模可以表示其大小,矢量得方向可以用来表示力得方向(指向),但不能确定作用线得位置,还应该用另它一个量来确定力得作用线、
力矢量与力对 O 点之矩就是力对刚体作用效应得度量。给定了矢量,就能确定力得大小与指向,再给定刚体在空间得位置与取矩点 O 得位置后,根据矢量就可以确定力得作用线(无论力得作用点就是作用线上得哪一点,力对 O 点得矩都就是不变得,如图 1—5 所示)。
定理 2 2(合力矩定理)设作用在刚体上得力系存在合力,则有:
定理 3 3(力对点之矩与力对轴之矩得关系定理)力对某一轴得矩等于力对这一轴上任一点之矩在该轴上得投影。
在数学上有这样得定理,即某一矢量对任意轴得矩等于该矢量对这一轴上任一点之矩在该轴上得投影、定理 3 只就是这个定理在力学中得一个应用,同样在研究动量矩时,也会有类似得应用。
定理４(力得平移定理)作用于刚体上任意一点得力可平移到刚体上其它任何一点,若不改变对刚体得作用效应,必须增加一个附加力偶,其力偶矩等于原力对新作用点得矩、 定理 5 5(力系等效定理)作用于刚体上得两个力系与等效得条件就是: ,
O r F
d
图 1－5
该定理可根据牛顿定律与有关力系等效得定义推导出来。实际上该定理就是力系等效得基本定理,定理 1 与定理 4 都可由该定理推导出来。由定理 5 还可以推导出力偶得等效条件,由于力偶就是一个特殊得力系,它得主矢恒等于零,而且对任意一点得主矩也相同,因此可由定理 5 推出力偶等效得条件。
定理 6 6(力偶等效条件)作用于刚体上得两个力偶等效得条件就是它们得力偶矩相等。
由这个定理可以得到力偶得下列性质。
力偶得性质: :
性质一
力偶不能与一个力等效(即力偶无合力),因此也不能与一个力平衡。
性质二
力偶可在其作用面内转动,或平移到另一平行面上,而不改变对刚体得作用
效应(如图 1-6a、b 所示)。
性质三
若改变力偶中得力与力偶臂得大小,而不改变力偶得转向与力偶矩得大小,
则力偶对刚体得作用效应不会改变(如图 1－6c 所示,其中)。
定理７(三力平衡定理)作用于刚体上得三个力若平衡,则这三个力得作用线必共面,或就是平行, 或就是相交于一点。
由该定理可推出这样得结论:作用于刚体上共面得三个力若平衡,如果它们不平行,则必汇交于一点。
六、
力系得简化
作用在刚体上力系向某一点 A 简化实际上就是确定一个与原力系等效得简化力系,这个简化力系一般由一个作用线通过简化点 A 得力与一个力偶构成,这个力得大小与指向由原力系得主矢确定,而这个力偶得力偶矩由原力系对 A 点得主矩来确定,将该简化力系记为、同理原力系也可以向另一个简化点 Ｂ 简化,得到另一个简化力系就是。这两个简化力系均就是由一个力与一个力偶构成,这两个简化力系中得力(不包括力偶)得大小与指向都就是相同得,只就是作用线不同,一个过简化点 A,另一个过简化点B ,在一般情况下,两个简化力系中得力偶与得力偶矩就是不同得,但它们满足关系式(1-２)。
力系简化得最后结果有以下四种情况: （1）
力系简化为一合力偶 若,则力系等价于一个力偶,其力偶矩等于该力系对简化点 O 得主矩。
（2）
力系简化为一合力 若,则该力系等价于一个力,力得大小与方向由力系得主矢确定,力得作用线过Ｏ点。
若,则该力系等价于一个力,力得大小与方向由力系得主矢确定,力得作用线不过Ｏ点,而过Ｏ’点(Ｏ’点如何确定请读者自己思考)、 （3）
力系简化为力螺旋 若且互不垂直,则力系等价于一个力螺旋。
（4）
力系平衡 若,则力系等价于一个零力系(平衡力系)。
由此可知力系就是平衡力系得充分必要条件就是:力系得主矢与对某一点得主矩均为零。
同理,根据定理６与平衡力系得定义,也可以得到上述力系得平衡条件、
F
F’
d
F
F’
d
F
F’
d
F
F’
d
F
F’
d
(ａ) (ｂ)
(ｃ) 图 1-6
刚体得定点运动与一般运动
刚体得定点运动与一般运动属于刚体得三维运动,在本章首先研究其运动学,然后在研究其动力学 一、定点运动刚体得运动学
刚体得定点运动: :刚体在运动时,如果其或其延展体上有一点不动,则称这种运动为刚体得定点运动。
(1) 刚体定点运动得运动方程。确定定点运动刚体在空间得位置可用欧拉(Ｅuler)角表示,它们分别就是进动角,章动角,自转角。刚体定点运动得运动方程为
(12－１) (2)刚体定点运动得角速度与角加速度。定点运动刚体得角速度可表示成
(１2—2) 刚体角速度矢量平行于瞬时转轴、定点运动刚体得角加速度定义为:
(１2－3) 一般情况下角速度矢量得大小与方向都随时间变化,因此角加速度矢量与角速度矢量不平行。
(3)定点运动刚体上各点得速度与加速度。定点运动刚体上任意点 Ｍ 得速度可表示成
(12－4) 其中:r 为由定点 O 引向点Ｍ得矢径。定点运动刚体上任意点Ｍ得加速度可表示成
(12－5) 上式中等号右端第一项定义为 转动加速度,第二项定义为 向轴加速度。
(4)刚体定点运动得位移定理:定点运动刚体得任何有限位移,可以绕过定点得某一轴经过一次转动而实现。
二、定点运动刚体得动力学
（1）
定点运动刚体得动量矩、定点运动刚体对固定点 O 得动量矩定义为:
(12－6) 其中:分别为刚体上得质量微团得矢径与速度,为刚体得角速度。当随体参考系得三个轴为惯量主轴时,上式可表示成
(１2－7) (2)定点刚体得欧拉动力学方程。应用动量矩定理可得到定点运动刚体得欧拉动力学方程
(1２-8) (3)陀螺近似理论。绕质量对称轴高速旋转得定点运动刚体成为陀螺。若陀螺绕得自旋角速度为,进动角速度为,为陀螺对质量对称轴得转动惯量,则陀螺得动力学方程为
(12—9) 其中就是作用在陀螺上得力对 O 点之矩得矢量与、 三、刚体得一般运动
(1)刚体一般运动得运动学、确定一般运动刚体在空间得位置,需要确定刚体上任意一点 O’(基点)得坐标与刚体相对基点作定点运动得三个欧拉角,,。一般运动刚体得运动方程为
(１２－10) (2)一般运动刚体上任意一点得速度与加速度。一般运动刚体上任意一点 M 得速度可表示成
(12—11) 其中为基点得速度,为由引向 M 点得矢径,为刚体得角速度、一般运动刚体上任意一点 M 得加速度可表示成
(12－１2) 其中为基点得加速度。
(3)刚体一般运动得运动微分方程。刚体一般运动得运动微分方程可由质心运动定理与相对质心得动量矩定理得到、 静力学理论得 应用
应用静力学得基本理论与方法研究物体系统得平衡就是本章得基本内容,其中包括:刚体系统得平衡问题;桁架得平衡问题,考虑摩擦时物体得平衡问题等。
一、
静定与静不定问题
在研究刚体或刚体系统得平衡问题中,如果未知量(包括:约束力,平衡位置等)得数目等于系统独立得平衡方程得数目时,所有未知量均可由平衡方程唯一地求解出来,这样得问题称为 静定问题;如果未知量得数目大于系统独立得平衡方程得数目时,未知量不能由平衡方程唯一地求解出来(有时只能求出部分未知量),这样得问题称为 静不定问题。
从数学角度来瞧,判断系统得静定与静不定问题,就是根据系统未知量得数目与独立平衡方程数目得关系来确定、从力学角度来瞧,静不定问题,一般就是系统存在某种多余得约束。例如图 3－1 所示系统就是静定得,因为铰链Ａ、B 处得约束力(三个未知量)可由三个独立得平衡方程完全确定;而图３-2 所示系统就是静不定得,因为在水平方向存在多余得约束,A、B 处得约束力为四个未知量,独立得平衡方程只有三个,不能唯一地求出所有得未知量,但可以求出部分未知量,如可以求出约束力在铅垂方向得两个分量,而在水平方向得两个分量不能唯一地确定。
A
B
A
B
图 3－2 图 3－1
二、
刚体系统得平衡问题
在一般情况下,对于静定得刚体系统,其独立得平衡方程数目等于系统中每个刚体得独立平衡方程数目之与,由这组平衡方程可求得刚体系统中所有未知量,但求解联立得代数方程组,计算量较大,通常利用计算机进行数值求解。在理论力学得课程学习中,则侧重强调基本理论与基本方法得理解与掌握。在求解刚体系统得平衡问题时,突出强调灵活恰当地选取研究对象,对研究对象进行受力分析,建立平衡方程,并尽量避免求解联立方程,最好一个方程求解一个未知量。
三、
平面桁架得平衡问题
桁架就是特殊得刚体系统,其特点就是构成桁架得各个部件均抽象成二力杆、求解杆件内力或约束力时得思想方法与求解刚体系统平衡问题得相同,只就是在分析过程中要利用二力杆得特点。
求解桁架平衡问题得基本方法有: （1）
节点法:以桁架得节点为研究对象,通过求解平衡方程,确定杆件内力得方法。
（2）
截面法:将桁架沿某一面截出一部分作为研究对象,应用平衡方程求解杆得内力得方法。
四、
考虑摩擦时得平衡问题
1 1 、滑动摩擦
两个相接触得物体有相对滑动或滑动趋势时,在接触处有阻碍其滑动得力,这种力称为滑动摩擦力。
滑动摩擦得分类及其特点: （1）
物体处于静止但有滑动趋势时,存在静滑动摩擦力 F F 。
摩擦力得方向:与相对滑动趋势得方向相反。
摩擦力得大小:,由平衡方程确定。最大静摩擦力得大小由库仑定律确定,即:,其中为静滑动摩擦因数(可由手册查出),为法向约束力得大小。当摩擦力达到最大值时,摩擦点即将产生滑动,这种状态称为 临界状态
（2）
当物体滑动时,存在动滑动摩擦力 F" 。
摩擦力得方向:与相对滑动得方向相反、 摩擦力得大小:,其中为动滑动摩擦因数,为法向约束力得大小。
２、摩擦角与摩擦自锁
将约束面对物体得全反力得作用线与法向约束力作用线得夹角记为,如图 3-3a 所示;达到临界状态时得全反力得作用线与法向约束力作用线得夹角记为,称为摩擦角,如图 3—3b 所示,并有关系式。
(a) (b)
图 3-3 由前述可知,全反力得作用线总在摩擦角以内。当作用在物体上主动力得作用线也在摩擦角得范围内时,无论主动力得大小如何变化,物体总保持平衡而不滑动,这种现象称为摩擦自锁、摩擦自锁条件就是、 ３、滚动摩阻
当两个相接触得物体有相对滚动或滚动趋势时,在接触处除了有摩擦力外,还存在滚动摩擦力偶 M M ,这个力偶称为滚阻力偶。
（1）
物体处于静止但有滚动趋势时,存在滚阻力偶 Ｍ 。
滚阻力偶得转向:与滚动趋势得转向相反。
滚阻力偶矩得大小:,由平衡方程确定。最大滚阻力偶矩得大小由关系式确定,其中为滚阻系数(可由手册查出),为法向约束力得大小、当滚阻力偶达到最大值时,物体即将滚动,这种状态也称为 临界状态。
（2）
当物体滚动时,存在滚阻力偶 M M 。
滚阻力偶得转向:与滚动转向相反。
滚阻力偶矩得大小:近似地由关系式确定、 虚位移原理
虚位移原理提供了静力学问题得一种全新得解法,它还就是分析力学得基础。
虚位移原理就是设计用来消除平衡方程中得约束力,主要就是用来求解平衡系统得主动力之间得关系或平衡位置。另外,通过解除约束,将内力或约束力转化为主动力,则虚位移原理也可用来求解内力与约束力,而且这比以前得列平衡方程得常规方法更有效。
一、力得功 元功: :力在微小位移上所做得功称为元功。其数学表达式为:或,其中与分别为力作用点得速度与微小位移、 变力在曲线路径上做得功可以用曲线积分计算、 等效力系做功定理 : 等效力系在刚体得位移上所做得功相等。
即:若,则 。
在计算力得功时,为计算方便,可以利用上述定理。
例如:图４-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索,在力 Ｆ (大小与方向不变)作用下在地面上纯滚动。计算在轮心沿直线移动距离过程中力 Ｆ 所做得功。
ﻩ
(a) ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ
(
)bﻩ图 4—1 由于力 F F 得作用点得位移不易计算,我们可将 Ｆ 平移到轮心,同时附加一力偶(其力偶矩得大小为,如图４－1ｂ所示)以保持力系等效,即。新得力系在轮心沿直线移动 S 距离过程中所作得功较易计算: , 其中:为圆盘轮心移动 S 距离时,圆盘转动得角度,即,于就是上式可写成
它等于在轮心沿直线位移距离过程中力 F F 所做得功。
二、约束及其分类 约束:对质点或质点系运动所加得限制。如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就就是受到了约束。
约束体对被约束体得运动就是通过力得作用(称为约束力)来加以限制得,但就是约束与受力就是应区别对待得两个不同概念,这可以通过下面得例子来区分。
(a)
( ﻩ ﻩ
ﻩ
)bﻩ ( ﻩ
)cﻩ图 4-2 对图 4—2 中所示得系统: 在(ａ)中,质点 A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点 ｏ 、显然质点 A 受到了约束,因为质点 A 得运动被限制在一个固定球面上(球面中心在 o 点,半径为杆长 ｌ ),它得运动受到了限制。
在(ｂ)中,将刚杆换成了一条不可伸长得柔索,则质点 Ａ 仍然受到了约束,因为质点 A 被限制在一个固定球面内运动(这就是一个单面约束,约束方程用不等式表示),它不能运动到球面之外、 在(ｃ)中,刚杆又换成了弹簧,则质点 A 就变成了一个自由质点。尽管它受弹簧力得作用,但它得运动没有受到限制,理论上它可以运动到空间中任何一个位置,所以图(c)中得质点 Ａ 没受到约束。
总而言之,受约束质点必然受力,但受力不等于受约束。
三、约束得分类 约束如按系统得实际结构进行分类,也就就是从物理方面来进行分类,就有了柔索类、铰链类、光滑面支撑类、固定端类等。另外,约束得理想与非理想之分,也就是从物理方面来分类得。
约束如按约束方程得形式,也就就是从数学方面来进行分类,我们就有单面与双面之分、定常与非定常之分、几何(完整)与非完整之分、 四、自由度与广义坐标 自由度:自由度就是确定质点系得空间位置所需得独立参数得个数。
对于一个具有 ｎ 个质点得自由质点系,可用各点得空间坐标来确定它得空间位置,所以它得自由度就是 3ｎ 。如果给该质点系再加上 k 个独立得双面几何约束:
则由于通过该方程组可将其中得 k 个坐标表示成另外 3n—k 个坐标参数(独立)得函数,所以该受约束质点系得自由度为 3n—k 。
对于图 4—2(a)所示得质点,如果 ｏ 处就是球铰,它得约束方程(质点到球铰ｏ得距离为杆长)得个数就是 1,所以该系统得自A
A A
x y
O O O
由度就是 3—1=２、如果将 o 换成柱铰,则约束方程则为
有两个约束方程,则系统得自由度就就是 3-2＝１、 对于图 4—1(b)所示得质点,由于这就是一个单面约束,当柔索未拉直时,质点得运动未受到限制,确定质点 A 得位置仍需要它得三个空间坐标,所以它得自由度就是 3;当柔索处于拉直状态时,质点得运动受到限制,可列写一个等式约束方程,所以其自由度就是２、 对于图 4—1(ｃ)所示得质点,由于弹簧不构成约束,所以自由度就是 3、 对于刚体系统,了解各种运动状况下得刚体所具有得自由度对于判定系统得自由度就是有帮助得,下面列出各种运动得刚体所具有得自由度。
空间运动得自由刚体:
６
空间平动得刚体:
3
定点转动得刚体:
3
平面运动得刚体:
3
定轴转动得刚体:
1 对于刚体系统,也可以用位置参数减去独立(双面)约束方程个数得方法判定自由度。下面以例示之。
如图4—3所示得平面运动机构,两轮被限制在水平直线上作纯滚动,杆AC与杆BC之间以(柱)铰链连接,杆与轮之间也用(柱)铰链连接。确定系统得自由度。
分析:该系统由两根杆与两个轮组成,计有 4 个平面运动刚体,每个平面运动刚体需 3 个位置参数,该机构共需 4×3=12 个参数描述其位置。但就是这１2 个位置参数又受以下约束:
图 4－3 杆ＡC 与杆 BＣ得 C 点位置坐标重叠:可列 2 个几何约束方程( x 坐标与 y 坐标); 杆ＡC 与轮 A 得轮心 A 点位置坐标重叠:可列 2 个几何约束方程( ｘ 坐标与 ｙ 坐标); 杆 BC 与轮 B 得轮心 B 点位置坐标重叠:可列 2 个几何约束方程(x 坐标与 y 坐标); 轮 A 作纯滚动:可列 1 个可积得运动约束(相当于 1 个几何约束)方程; 轮 B 作纯滚动:可列１个可积得运动约束(相当于 1 个几何约束)方程; 轮Ａ中心 A 作直线运动:可列 1 个几何约束方程; 轮 B 中心 B 作直线运动:可列 1 个几何约束方程。
这样一来,系统约束方程得个数为１0,则整个系统得自由度为:１2—10=２。
也可以这样来判定:通过观察,AC 杆与 BC 杆间得夹角 可决定系统得形状,一旦 确定,则轮 A 得中心坐标可决定系统得位置及两轮得转角,故描述该系统得位置独立参数可取,所以这就是一个 2 自由度系统。
广义坐标: :确定系统位置或形状得独立参数。
系统得自由度就是唯一得,但确定位置或形状得独立参数却有多种取法,故广义坐标得取法不唯一,但就是广义坐标得个数就是确定得。当系统受到完整约束时,广义坐标得个数等于系统得自由度数、 例如在上面得例子中,可以取为广义坐标,或取为广义坐标,也可以取两轮得轮心得水平位置坐标为广义坐标,因为它们都就是独立参数、但不能取轮心 A 得坐标与轮Ａ得转角为广义坐标,因为这两者不独立、 位形空间:广义坐标构成得空间称为位形空间,也称构形空间。位形空间中得点描述了质点系得位置或形状。取质点系得广义坐标为,则就就是位形空间。
五、虚位移与虚功 虚位移:在给定瞬时,质点或质点系为约束容许得任何无限小位移。
在静力学中,考虑得就是完整、双面、定常约束,但在动力学中,尽管运动中得质点系大都也就是受定常约束,但也可能受非定常约束(即约束方程中显含时间 t )。
对于定常约束,有无“给定瞬时"没有区别,但对于非定常约束,“给定瞬时”意味着什么呢?我们以下面得例子来阐明这个概念、 对于一个限制在固定曲面上 f(ｘ,y,z)=0 上得质点 Ｍ ,它得虚位移就是在 M 点得切面上任意方向得无限小位移,而 M 得无限小实位移会与某个方向上得虚位移重合、 如果该曲面在运动,不妨设在 z 方向以速度 v 平动: ｆ(x,y,z-vt)=０ 。这种情况下,“给定瞬时”得虚位移就就是在给定时刻,曲面所在位置 M 点得切面上任意方向得无限小位移。相当于将正在运动得曲面在该瞬时“定格",然后考虑该“固定曲面"所容许得无限小位移(如图 4-4)。在数学上,意味着时间 δt 得变分为零: δt=0 。
对于定常约束,无限小实位移同某一方向得虚位移重合,但对非定常约束,无限小实位移不同任何虚位移重合。
虚功:虚功就是力在质点系得虚位移上所做得功。
虚功就是一个假想得功,按定义,虚位移就是微小位移,所以虚功属于元功。
理想约束: :约束力虚功之与等于零得约束。理论力学中常见得理想约束有: 光滑(固定或移动)支撑面约束与滚动铰链支座; 光滑固定铰链支座与轴承; 连接物体得光滑铰链; 无重刚杆; t 时刻曲面所处位置
图 4－4
连接两物体得不可伸长得柔索; 不计滚动摩擦阻力时,刚体在(固定或移动)曲面上得无滑动得滚动。
虚位移原理:具有定常、双面、完整、理想约束得质点系,其平衡得充要条件就是,对于系统得任何一个虚位移,作用于质点系上得所有主动力所做得虚功之与等于零、 虚位移原理写成数学表达式:
(４－1) 其中就是主动力得作用点得虚位移、由此建立得方程也可称为平衡方程。
对于一个受约束得质点系,各并不就是独立得。所以在实际应用中必须补充一组虚位移得约束方程。所以,虚位移原理就将求平衡问题转化为求虚位移得关系问题。
仔细审视一下虚位移原理,请注意其中加点得“任意"二字。在对多自由度系统实际应用虚位移原理时,可以选取几个特殊得虚位移,令主动力做得虚功之与为零,以建立平衡方程。如果所选取得虚位移就是线性无关得,则得到得平衡方程就就是独立得、 对于多自由度系统,用虚位移原理建立得平衡方程得个数等于系统得自由度。
六、求解虚位移之间得关系 如果质点系得约束方程具有形式
则各质点得虚位移之间满足如下关系:
对于理论力学中常见得刚体系统,刚体得约束条件就是:对于刚体上得任何两点,有: 常量, 即:刚体上任意两点间得距离保持为常量。上式还可表示成: 常量 对于上式两边取变分,则有: 即:
由此,我们得到一个重要结论: 刚体上任意两点得虚位移在它们得连线上得投影相等。这就是刚体系统常用得一个虚位移关系(也称 投影定理)。
根据上述投影定理可以得到下面两个推论: 推论 1:对于可作平面运动得刚体(此时刚体视为平面图形),若已知在给定瞬时其上 A、Ｂ两点虚位移垂线相交于 P 点(如图 4－5a所示),则在该瞬时,刚体上得 P 点得虚位移为零。
推论 2:对于可作平面运动得刚体(此时刚体视为平面图形),若已知在给定瞬时其上 A、B 两点虚位移得垂线相互平行且不相交(如图４－5ｂ所示),则在该瞬时,刚体上所有点得虚位移都相同、
由推论 1 可知,在该瞬时,刚体得虚位移可视为绕Ｐ点作定轴转动,其转角为,由推论 2 可知,在该瞬时,刚体得虚位移就是平移。
(a) (b)
A BB r A r A BB r A r 图 4－5
七、广义力 取质点系得广义坐标为,设质点系有虚位移,则作用在质点上得所有力所做得虚功之与可以写成如下形式:
其中:就是力得作用点位置得直角坐标,它就是广义坐标得函数、 称为对应于广义坐标得 广义力,它得表达式为
(4－2) 虚位移原理得一个直接推论就是:具有定常、双面、完整、理想约束得质点系,其平衡得充要条件就是,对应于所有广义坐标得广义力都等于零。
力场:力场就是一个空间、当质点(系)所受力完全由其所在位置决定,这样得空间称为力场、 势力场:如果场力所做得功与质点经过得路径无关,这样得力场称为势力场或 保守力场,相应得场力称为有势力或保守力、 常见得有势力有:重力、弹性力、万有引力等、 阻力不就是有势力,因为它们做得功与路径有关。它们甚至不能构成力场,因为阻力得大小与方向取决于质点(系)得速度。即使象动滑动摩擦力在平面上可以大小保持不变,但其方向却得由质点(系)得速度方向来决定、 势函数:决定势力场中力得函数,也称 力函数。
记质点系得位形空间为,记势力场得力函数为,则质点系在势力场中得广义力为:
势函数可以相差一个常数而不改变势力场中得力、 势能:质点(系)从某一位置或形状-—简称位形—- A
移动(或变形)到基准位形 Ao
,有势力所做得功,称为质点系在该位形得势能。基准位形得势能为零。
要注意得就是,由于基准位形就是势能函数得参考点,它必须就是一固定得位形、就如同描述位置得参考点必须就是确定点一样。
势能函数常记为,势力场得广义力与势能函数得关系就是:
(4-3) 八、平衡位置得稳定性 平衡位置也称平衡解,它就是动力学系统得一个特解。如果初始条件适当,系统将保持在这个平衡位置。当系统在平衡位置受到微小扰动时(即对初始条件做微小改变),如果相应得动力学方程得解仍保持在平衡位置得邻近区域,则称该平衡位置就是稳定得。
稳定性研究就是动力学理论中一个重要得研究领域。对于处于有势力场中得受理想约束得系统,有一个关于平衡位置得稳定性得重要判据: 如果系统得势能函数在平衡位置具有严格得局部极小值, , 则该平衡状态就是稳定得、 我们可以给该判据一个力学解释:由于势能函数在平衡位置取严格得局部极小值,平衡位置周围得势能都高于平衡位置得势能,当系统在平衡位置受到扰动而离开平衡点时,由于机械能守恒,它必须消耗动能来获得较高势能,这样当扰动微小时它没有足够得能量远离平衡位置,只能在平衡位置附近运动,所以平衡位置稳定、 与上述判据相应得就是,成立这样得一个不稳定性命题:如果系统得势能函数在平衡位置具有严格得局部极大值,则该平衡状态就是不稳定得。
在势力场中,质点系平衡得充分必要条件就是:
势力场中系统得平衡位置得稳定性得判断过程就是:首先通过势能得驻点(一阶导数为零)求出系统得平衡位置;然后判断势能在该驻点就是否取极小值。
点得运动学
点得运动学研究就是物体上得某个点( ( 或质点) ) 在空间得位置随时间得变化规律, , 它既就是研究质点动力学得预备知识, ,又就是研究物体一般运动得基础。运动都就是相对得, , 要描述物体得运动就必须选取另一个物体作为参考, , 这个被选作参考得物体称为参考体, , 与参考体固连得坐标系称为参考系。点得运动学研究点相对某参考体得运动规律, , 包括点得运动方程、速度、加速度以及它们之间得关系。研究点得运动, , 常用得方法有: : 矢量法、直角坐标法与自然坐标法。
在研究某些问题时, , 需要在不同得参考系中观察或描述点得运动, , 这些不同得参考系之间还存在有相对运动; ; 有时可以把一些较复杂得运动分解成 在不同参考系中几个简单运动得合成, , 这时就需要用复合运动得方法去处理这些问题。
一、点得运动学得基本理论
1 1、 、 矢量法
矢量法就是用矢量描述点得运动规律。
运动方程:
(5-1) 速度:
(5-2) 加速度:
(5-3)
运动轨迹:矢径端点得曲线。
该方法通常用于理论推导,在研究具体问题时,还应选用合 适得坐标系来描述有关得物理量。
2 2、 、 直角坐标法
直角坐标法就是用点得直角坐标描述其运动规律。
运动方程:
(5－４) 速度:
(5－５) 其中:就是速度在三个坐标轴上得投影。
加速度:
(5-６) 其中:就是加速度在三个坐标轴上得投影。
3 3、 、 自然坐标法
点沿曲线运动时,其速度、加速度与曲线得几何形状有关,因此当点得运动轨迹已知时,其运动规律一般用自然坐标描述。
运动方程:
(5－7) 速度:
(5－8) 加速度:
(5－9) 其中:,,
上式中为单位向量, , 分别就是切向量( ( 指向弧坐标 s s 得正向) ) 、法向量( ( 指向曲线得凹向) ) 与副法线向量( ( 垂直于密切面并且满足关系式 ), 它们构成一个正交得框架, , 称为自然轴系。为切向加速度, , 反映了速度大小得变化; ; 为法 向加速度, ,、 反映了速度方向得变化、
二、点得复合运动得基本理论
1 1 、基本定义
定参考系:研究运动得基础参考系。在工程中,一般取与地面或机座固连得参考系作为定参考系。
动参考系:相对基础参考系运动得参考系。
动
点:被研究得点、动点要相对定参考系与动参考系均有运动。
绝对运动:动点相对定参考系得运动。
绝对速度:动点相对定参考系得速度,一般用表示。
绝对加速度:动点相对定参考系得加速度,一般用表示。
相对运动:动点相对动参考系得运动。
相对速度:动点相对动参考系得速度,一般用表示。
相对加速度:动点相对动参考系得加速度,一般用表示、 牵连运动:动系相对定系得运动,动系一般固连在某个刚体上。
瞬时重合点:在某瞬时动系上与动点重合得点。瞬时重合点在与动系固连得刚体上或该刚体得延展体上、 牵连速度:瞬时重合点相对定参考系得速度,一般用表示。
牵连加速度:瞬时重合点相对定参考系得加速度,一般用表示、 2 2 、基本定理
速度合成定理: :动点在每一瞬时得绝对速度等于该瞬时牵连速度与相对速度得矢量与,即:
(5-９) 该定理适用于动系作任何运动得情况, , 其中, , 就是与构成平行四边形得主对角线, , 这三个矢量必定共面并且可用6 6 个标量表示( ( 如各矢量得大小用一个标量表示, , 其方向用另一个标量表示; ; 或用各矢量在两个正交轴上得投影表示) ) 。式 (5 － 9) 就是一个平面矢量方程, , 等价于两个代数方程, , 只能确定两个未知量与其它四个量得关系、
加速度合成定理: :动点在每一瞬时得绝对加速度等于该瞬时得牵连加速度、相对加速度与科氏加速度得矢量与,即:
(5－1０) 其中:
(5-１1) 加速度合成定理(5-１０)式适用于动系就是任意运动得情况,(5-1１)式中得为动参考系得角速度、当动系作平移时,,此时,加速图 5－2
o
s 图 1－5
o
度合成定理可表示成:
(5-1２) 公式(5—10)可以写成最一般得形式
(5-１３) 如果上式中得７个矢量共面, , 则该矢量方程等价于两个代数方程, , 可求解两个未知量; ; 若这７个矢量不共面, , 则该矢量方程等价于三个代数量方程, , 可求解三个未知量。需要注意得就是, , 当复合运动问题中得各种速度( ( 角速度) ) 求解出来后, , 在轨迹得曲率半径已知得条件下, , 加速度均为已知量、
３、动点与动系得选择
为了便于求解复合运动问题,应选取合适得动点与动系,如果选取不当,就可能对问题得求解带来困难、动点与动系得选取应遵循以下规则: （1）
动点与动系不能选在同一个刚体上,应使动点相对动系有运动,否则不能构成点得复合运动。
（2）
应使动点得相对运动轨迹易于确定,最好为一已知得直线或曲线(轨迹得曲率半径已知),这样便于确定矢量得方向、 质点动力学
质点动力学研究得就是作用于质点上得力与其运动之间得一般规律。牛顿三定律就是质点动力学得基础,也就是质点系动力学与刚体动力学得理论基础、 一、
质点运动微分方程
牛顿第二定律建立了在惯性参考系中,质点加速度与作用力之间得关系,即:
(6－1) 其中:分别表示质点得质量、质点在惯性参考系中得加速度与作用在质点上得力。将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式得质点运动微分方程
(6-2) 如果已知质点得运动轨迹,则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式得质点运动微分方程
(６－3)
对于自由质点,应用质点运动微分方程通常可研究动力学得两类问题。
第一类问题:已知质点得运动规律,求作用在质点上得力;
第二类问题:已知作用在质点上得力,求质点得运动规律。
对于非自由质点,有些问题属于上述两类问题之一。当质点得运动规律未知,作用在质点上得约束力也未知时,这种情况就不属于上述两类问题。在研究这类问题时,首先建立质点运动微分方程;然后消去方程中得未知约束力,得到主动力与质点位置、速度与加速度得关系式,通常这个关系式以常微分方程(组)得形式给出,再通过求解微分方程(组)得到质点得运动规律;最后在利用质点运动微分方程求出未知得约束力。
二、
质点相对运动微分方程
当研究质点在非惯性参考系下得运动与其受力之间得关系时,可选取一个惯性参考系为定系,非惯性参考系为动系,应用点得复合运动加速度合成定理与牛顿第二定律,就可得到质点在非惯性参考系下得运动微分方程(简称质点相对运动微分方程),即:
(6－４) 其中:称为牵连惯性力、称为科氏惯性力, m 为质点得质量,为质点在非惯性参考系中得加速度、与分别为质点得牵连加速度与科氏加速度。
在某些特殊情况下得质点相对运动微分方程有如下形式 1、 当动系作平移时,,质点相对运动微分方程为
(6－５) 2、 当质点相对动参考系静止时,,,质点相对运动微分方程为
(6－6) 3、当质点相对动参考系作匀速直线运动时,,质点相对运动微分方程为
(6－7) 4、 当动参考系相对惯性参考系作匀速直线平移时,牵连惯性力与科氏惯性力均为零,质点相对运动微分方程为
(6-８)
在研究质点动力学问题时, , 首先进行受力分析与运动分析, , 然后建立矢量形式得质点运动微分方程, , 然后将矢量形式得运动微分方程在坐标轴上投影, , 当运动轨迹已知时, , 选取自然坐标轴。
刚体得平面运动
刚体得平面运动就是刚体运动得一种特殊形式,可视为刚体得平移与转动得合成。本章研究得主要内容就是如何描述刚体得平面运动,以及如何计算刚体上点得速度与加速度。
一、
刚体得平移( ( 平动) )
刚体在运动过程中,如果其上任一直线始终保持与初始得方向平行,则称该刚体作 平移或平动。
平移刚体上各点得速度相同, , 加速度相同, , 运动轨迹得形状也相同。因此研究刚体得平移问题可简化成一个质点得运动问题来研究。
二、 刚体得定轴转动
刚体在运动过程中,若其上(或刚体得延展体上)有一直线保持不动,且刚体绕此直线转动,则称该刚体作定轴转动、 (1)定轴...
