第七讲
统计初步知识
本节课新知识比较多，所以请各位老师 在备课时，多准备一些简单的例题， 注重基础知识的讲解，较难的题目可以少讲。
另外，本节课的作业题较难，对于中考冲刺班的学生来说，可以不做，把例题中的几道题留为作业；对于联赛班的学生来说，可以把作业题当作例题讲；
一、基础知识
１，总体和样本（概念？）
（１）在确定考察对象的总体时，应注意区分具体对象和对象的某种数量指标；
例如：为了考察某校的初中毕业生数学成绩，从中抽测了３０名学生的数学成绩，在这个问题中，总体指得是“某校的初中毕业生数学成绩”这个数量指标，而不是“某校的所有初中毕业生”。
（2 2 ）总体是一个确定的数字集合，而样本是一个变化的量，也就是说，一个总体可以有许多样本，即使样本容量相同时，每次抽取的情况也不会相同。
例如：
为了考察某养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取 5 5 只，称得它们的重量（单位：千克）分别为 3.3 ，3.3 ， 3.4 ， 3.1 ， 3.0 ，在这个问题中，总体、个体、样本及样本容量指得是什么？
[ [ 解答] ] ：总体指的是某 养鸡场鸡的重量的全体；
个体指的是某养鸡场每只鸡的重量；
样本指的是抽取的５只鸡的重量；
样本容量是５；
（３）在同一问题中可能有多个总体．
例如：某养鱼场有东西两个鱼塘，采用不同的喂养方法进行试验，为了考察鱼的长势情况，在两个塘中各捕捞了５条鱼进行称重．在这个问题中，总体、个体、样本及样本容量各指的是什么？
［解答］：总体指得是东鱼塘的重量的全体和西鱼塘鱼的重量的全体，不能把二者放在一起看成一个整体，所以这个问题中应有两个总体．
同样，在指明个体、样本、样本容量时应说明是哪个总体的．
如果一个问题中有两个总体，一般情况下，样本容量应当相同，其目的是为了对这两个总体的某些特征值进行比较．
２，众数与中位数
（１）
众数是一组数据中出现次数最多的那个数据；
（２）
中位数是把一组数据按大小顺序排列起来，处在最中间位置的那个数据（或最中间两个数据的平均数）；
３ ，平均数与方差
（１）
平均数是反映数据的集中趋势（集中位置）．所谓统计的方法，就是用样本的平均数去估计总体的平均状态 — 总体的平均数．
（２）方差是反映样本波动大小的特征数字，即从数量上刻划样本数据偏离平均值的大小．
（３）样本方差的算术平方根叫做样本标准差．
４，画频率 分布 图
（1 1 ）步骤：
① 计算这一组数据中的最大值与最小值的差（叫做这组数据的极差）； ② 决定组距与组数（组距* * 组数= = 极差）； ③ 决定分点； ④ 列频率分布表； ⑤ 画频率分布直方图. .
（2 2 ）一个小组的频数指的是落在这一小组内的数据的个数；一个小组的频率是指这个小组的频数与数据总数的比值. .
（３）在频率分布直方图中，为了使各小长方形的面积等于相应各个组的频率，即组距＊小长方形高＝频率，所以小长方形高＝频率／组距；由于各组频率的和为１，所以小长方形的面积和也等于１．
二、例题部分
第一部分
基础概念题
例 1.
（２００１年海淀区中考题）某校举办建党８０周年歌咏比赛，六位评委给某班演出评分为：９０，９６，９１，９６，９２，９４，则这组数据中，众数和中位数分别是＿＿＿（单位：分）．
［解答］：
９６，９３；
例 2.
（２００１年广州中考题）从一组数据中取出ａ个1x ，ｂ个2x ，ｃ个3x ，组成一个样本，那么这个样本的平均数是
（）
Ａ．1 2 33x x x
Ｂ．3a b c
Ｃ．1 2 33ax bx cx
Ｃ．1 2 3ax bx cxa b c
［解答］：
Ｄ；
例 3.
1 (2001 年，武汉市中考题) ) 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：
某学生根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的
人数多于甲班优秀的人数( ( 每分钟输入汉字0 ≥150 个为优秀) ) ； ③ 甲班的成绩波动情况比乙
班的成绩的波动大．上述结论正确的是
(
)
A A ． ①②③
B B ． ①②
C C ． ①③
D D ． ②③
］ ［解答］ ：A A
提示：由 135 x x 乙 甲，故 ① 正确；
由甲班中位数为 149 ，故优秀人数最多 6 26 人，而乙班中位数为 151 ，故优秀人数至少 7 27 人．故结论 ②也正确；由2 2S S 乙 甲，故甲班的成绩波动情况比乙班的成绩的波动大．
例 4.
9 (1999 年，盐城市中考题) ) 一组数据的方差为2S ，将这组数据中的每个数据都除以 2 2 ，所得到的一组新数据的方差是
( (
) )
A A ．22S
B B ．22S
C C ．24S
D.24S
］ ［解答］ ：C C
提示：运用方差的计算公式计算可得：若一组数据1x ，2x ， ……nx 的方差为2S ，则数据
1kx ，2kx , , ……nkx 的方差为2 2k S ．
例 5.
1 (2001 年，四川省眉 山中考题) )将 将 5 5 个整数从大到小排列，中位数是 4 4 ，如果这个样本中的唯一众数是 6 6 ，则这 5 5 个整数可能的最大的和是 __ ____ _ ．
］ ［解答］ ：
21
提示：因为中位数是 4 4 ，唯一的众数为 6 6 ，故数据中有三个数为 6 6 ，6 6 ，4 4 ．要使它们的和最大，另两个数为 3 3 和 和 2 2 ，故和为 21 ．
第二部分
拓展 题目
例 6.
1 (2001 年，河北省竞赛题) ) 已知数据 的平均数为 的平均数为 b b ，则数 据 的平均数为
（
）
］ ［解答］ ：
提示：
1 1 2 2 3 31 2 3 1 2 31 [(23 ) (2 3 ) (2 3 )]3
2 33 3
x x y x y x yx x x y y y =2a+3b
例 7.
9 (1999 年，江苏省数学竞赛题) ) 小林拟将 1 1 ，2 2 ， …… ，n n 这 这 n n 个数输入电脑，求平均数．当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了n (n 一 一 1) 个数，平均数为5357，假设这n (n 一 一 1) 个数输入无误，则漏输入的一个数是
( (
) )
A A ． 10
B B ． 53
C C ． 56
D D ． 67
］ ［解答］：
：
C
提示：
因为 为 2 2 到 到 n n 的平均数为22n， ，1 1 到( (n n 一 一 1) 的平均数为2n，从而有5 2352 7 2n n ， ，
所以3 369 717 7n ，故 n=
0 70 或 或 71 ．
又5357是 是 n n 一 一 1 1 个数的平均数，
故 故 n n 一 一 1 1 能被 7 7 整除，所以 n n =71 ．
又 又 l l 十 十 2+…+71=2556 ．
设漏输的数为 x ．
则2556 53570 7x ，解之得：
x =56 ．
例 8.
若 若 m m 、n n 均为正数，且 , , , , 则 则 y y 的取值范围是 ______ ．
］ ［解答］ ：
0<y y ≤4
提示：将 2 m ， 2 2 n 看成一组数据，
则2yx ，
故
2y ≤16 ，又
故 故 0<y≤4 ．
例 9.
设实数 a a、 、b b、 、c c、 、d d、 、e e 适合 a a+ +b b+ +c c +d+ e =8 ，2a + +2b + +2c + +2d + +2e =16 ，那么 e e 的最大值 为 ______． ．
［解答］：156
提示：由题意得 ：
将 将 a a 、b b 、c c 、d d 看成一组数据，则84ex . .
故
即
, , 故
故 故 e e 的最大值为165．
例 10.
方程组
的实数解为 ______ ．
］ ［解答］ ：
x=1 1 ，y y =1 ， z=1
提示：将 x x 、y y 、z z 看作一组数据，则
又 ，故
所以 x x =y= = z=1 ．且适合第 3 3 个方程．所以原方程组的唯一实数解为 x x =1 ， y=1 ， z=1 ．
三、练习题部分
1. 0 (2000 年，江苏省竞赛题) ) 新华高科技股份有限公司董事会决定今年用 3 13 亿资金投资发展项目，现有6 6 个项目可供选择( ( 每个项目或者被全部投资或者不被投资) ) ，各项目所需投资
金额和预计年均收益如下表：
项目
A A
B B
C C
D D
E E
F F
投资（亿元）
5 5
2 2
6 6
4 4
6 6
8 8
收益（亿元）
**
**
**
**
**
1 1
如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于 1 1 ．6 6 亿元，那么当选择的投资项目是 _______ 时 ，投资的收益总额最大．
］ ［解答］ ：A A 、B B 、E E
提示：由投资 3 13 亿资金，故唯一的奇数 5 5 必选．另外的选择方案有 B B 、C C 或 或 B B 、E E
或 或 F F ．要使收益额不低于 1 1 ．6 6 亿元．则只有选择投资 A A 、B B 、E E ．
2. 某班学生有 3 3 门课供选修，选课 a a 、b b 、c c 分别可得 4 4 、5 5 、6 6 个学分，已知每人至少选了一门课，选了两门课的学生有 1 11 人，选了三门课的学生有 2 2 人．还知道：选课 a a 与课 b b 的学生人数是 20 ，选课 a a与课 c c 的学生人数是 24 ，选课 b b 与课 c c 的学生人数是 26 ，那么这个班学生选课的平均学分是 ______. .
］ ［解答］ ：9 9 ． 05
提示：设选课 a a ，课 b b ，课 c c 、的人数分别是ax 、bx 、cx 。则
所以
, ,
即选课人次数为 35 ．
故选一门课的人数为 35 — 2×11- - 3×2=7 ．
所以这个班的人数为 7+11+2=20 ．
则平均学分为120
(4×9+5×11+6×15)=9 .05 5
3. 一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：
已经算得两个组的人均分都是 0 80 分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组
这次竞赛中谁优谁次，并说明理由．
］ ［解答］ ：
(1) 甲组的成绩的众数为 0 90 分，乙组成绩的众数为 0 70 ； 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些；
(2)2S 甲
=172 ，2S 乙 =256 ．因为2S 甲
< <2S 乙 ，所以甲组成绩较乙组成绩稳定．
(3) 甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是 0 80 分，其中，甲组成绩在 0 80 分以上的有 3 33 人，乙组成绩在 在 0 80 分以上的有 6 26 人．从这一角度看甲组的成绩总体较好．
(4) 从成绩统计表看，甲组成绩高于 0 80 分的人数为 0 20 人，乙组成绩高于 0 80 分的人数为 4 24 人．所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分 的人数多 6 6 人，从这一角度看，乙组的成绩较好．
4. 1 (2001 年，I TI 杯数学竞赛题) ) 某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射 0 10 次．在第 6 6 、第 7 7 、第 8 8 、第 第 9 9 次射击中，分别得了 9 9 ．0 0 环、8 8 ．4 4 环、8 8 ．1 1 环、9 9 ．3 3 环，他的前 9 9 次射击所得的平均数高于前 前 5 5 次射击所得的平均环数．如果他要使 0 10 次射击的平均数超过 8 8 ．8 8 环，那么他在第 0 10 次射击中至少要得多少环 ?( 每次射击所得环数都精确到 0 0 ．1 1 环) )
］ ［解答］ ：
由题设知，前 5 5 次射击的平均环数小于
前 前 9 9 次的总环数至多为 8 8 ． 7×9- -0 0. . 1=78. .2 2 ．
所以第 0 10 次射击至少得
5. 1 (2001 年，江苏省竞赛题) ) 编号为 1 1 到 到 5 25 的 的 5 25 个弹珠被分放在两个篮子 A A 和 和 B B 中，5 15 号 弹珠在篮子
A A 中，把这个弹珠从篮子 A A 移到篮子 B B 中，这时篮子 A A 中的弹珠号码数的平 均数等于原平均数加14，B B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加14．问原来在篮子 A A 中有多少个弹数 ?
］ ［解答］ ：
设原来篮子 A A 中有弹珠 x x 个，则篮子 B B 中有弹珠5 (25 一 一 x x) ) 个，又设原来 A A 中弹珠号码数的平均数为 a a ，B B 中弹珠号码的平均数为 b b ，由题意得：
由②得
由③得
将④、⑤代入 中 ① ，得
解得：x x =9 ．
即原来篮子 A A 中有 9 9 个弹珠．
6. 某次数学竞赛共有 5 15 道题，下表是对于做对 n(n n =0 ，1 1 ， 2…… ， 15) 道题的人数的一个统计，如果又知其中做对 4 4 道题和 4 4 道以上的学生每人平均做对 6 6 道题，做对 0 10 道和 0 10 道 题以下的学生每人平均做对 4 4 道题．问这个表至少统计 了多少人? ?
］ ［解答］ ：对 由统计表可知，做对 0 0 —3 3 为 道题的总人数为 7+8+10+21=46( 人) ) ，他们做对题目数的总和为7×O+8×1+10×2 2 +21×3=91( 题) ) ；
做对 12 —5 15 道题的总人数为 15+
6+
3+
1 1 =25( ( 人) ) ．
他们做对题目数的和为：
15×12+6×13+3×14+1×15=315( 题) ) ．
以1 2 15, ,........ x x x 分别表示做对 0 0 道，1 1 道，5 ……15 道题目的人数，由题意得：
. .
即
. .
. .
两式相减得：
而
代入上式得：
因此，当11x 0 =0 时，统计的总人数0 1 15x x x 最少为 0 200 人
