概率论与数理统计第一章,,事件与概率精品教案

　第一章

　事件与概率 一、内容提要 1.随机试验 在一组条件的实现下，对自然现象和社会现象的观察或实验统称为试验。对于随机现象的试验称为随机试验，记为 E.随机试验具有以下特征：

　（1）在不变的一组条件下，可以重复多次进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，且能在试验前明确所有可能的试验结果； （3）每次试验前不能肯定哪一个结果会发生，但每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。

　2.事件的概念 随机试验的每一个可能发生的结果称为该试验的基本事件或样本点，记为  。一个随机试验的所有基本事件的集合，称为试验的样本空间，记为  ，即 } {    。

　在一次随机试验中可能发生也可能不发生，而在大量的重复试验中具有某种统计规律性的事件称为随机事件，记为 A , B ,…. 在每一次试验中必然发生的事件，称为该试验的必然事件，记为  ；在任何一次试验中必然不发生的事件，称为该试验的不可能事件，记为  。必然事件包含试验的所有基本事件，而不可能事件不包含任何基本事件。

　3.事件之间的关系及运算

　（1）如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 A 包含于事件 B 或称事件 B 包含事件 A ，记为 A B B A   或 。

　（2）如果 B A 且 A B ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A = B 。

　（3）事件 A 与事件 B 至少发生一个的事件称为事件 A 与 B 的和事件，记为 B A 。类似地，n 个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n 至少发生一个的事件称为这 n 个事件的和，记为ininA A A A12 1     ，可列无穷多个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，…的和，记为 1 iiA 。

　（4）事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的积事件，记为 B A 或 AB。类似地， n个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，同时发生的事件称为这 n 个事件的积，记为   nii nA A A A12 1。可列无穷多个事件   , , , ,2 1 nA A A 同时发生的事件称为   , , , ,2 1 nA A A 的积，记为 1 iiA 。

　（5）事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为事件 A 与 B 的差，记为 A—B 或 B A 。

　（6）如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，即   AB ，则称事件 A 与 B 是互不相容的，此时B A 可表示为 A+B 。类似地，如果 n 个事件nA A A , , ,2 1 中，   j i A Aj i   , ，则称这 n 个事件是两两互不相容的。如果可列无穷多个事件   , , , ,2 1 nA A A 中，   j i A Aj i   , ，则称事件   , , , ,2 1 nA A A 是两两互不相容的。

　（7）如果事件 A 与事件 B 必然有一个发生，但不能同时发生，即     B A B A   , ，则称事件 A 与 B 互为对立事件，记为 A B  （或 B A ）。显然，      A A A A A A   , , 。

　由（6），（7）看出，若 A 与 B 是对立事件，则 A 与 B 必为互不相容事件；反之，不一定成立。

　（8）事件的运算法则

　①交换律

　. , BA AB A B B A    

　②结合律

　  ). ( ) ( ), ( BC A C AB C B A C B A      

　③分配律

　  ). ( ) ( ) ( , C A B A C B A AC AB C B A         

　④对偶律

　   niiniiniiniiA A A A1 1 1 1,     . 4.随机事件的概率 （1）刻画随机事件 A 在试验中发生的可能性大小的数值称为随机事件 A 的概率，记为 P( A ).必然事件的概率等于 1，即   1   P ；不可能事件的概率等于 0，即 0 ) (   P ；随机事件 A 的概率：0≤ P ( A )≤1. （2）事件的频率及其稳定性：设事件 A 在 n 次试验中发生了 n A 次，则称比值nn A为随机事件A 在 n 次试验中所发生的频率，记为 ) (A f n .即nnA fAn ) ( . 实践证明，当试验次数 n 充分大时，随机事件的频率常在一个确定的数值 p 附近摆动，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度愈变愈小，称此为随机事件频率的稳定性。

　（3）概率的统计定义：若随着试验次数 n 的增大，事件 A 发生的频率 ) (A f n 在〔0,1〕上某一个数值 p 附近摆动，则称 p 为事件 A 的概率，记为   p A P  . （4）概率的一般定义：设随机试验 E 的样本空间为 Ω ，对于 E 的每一个随机事件 A 都与一个确定的数值 P ( A )对应，如果 P ( A )满足下列条件：

　①0≤ P ( A )≤1； ②   1   P ；

　③对于两两互不相容事件 A 1 ， A 2 ，…， 有

　    1 1 1 1), ( ) ( , ) ( ) (kkkknkknkkA A P A P A P  则称 P(A) 为事件 A 的概率。

　5.古典概型 如果随机试验具有下述特征：

　（1）所有可能的试验结果只有有限多个，即其基本事件只有有限多个； （2）试验中每个基本事件的发生是等可能的，则称这种随机试验为古典概型。

　设随机试验的基本事件总数为 n ， A 为一随机事件，它包含 k 个基本事件，则称比值nk为随机事件 A 的概率， 即

　 中基本事件总数中包含的基本事件数 AnkA P ) ( . 6.概率加法公式 （1）对任意事件 A 与 B ， 有

　). ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P    

　（2）对于互不相容的事件 A 与 B ， 有

　 ). ( ) ( ) ( B P A P B A P   

　（3）对于任意 n 个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，

　有

　              ni n j i n k j innk j i j i iniiA A A P A A A P A A P A P A P1 1 12 111). ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (   （4）对于任意 n 个两两互不相容事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，即 ), ( j i A Aj i   ，

　有

　. ) ( ) (1 1 niiniiA P A P 

　（5）对立事件的概率之和等于 1， 即

　) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( A P A P A P A P     ， . （6）若在试验中， n 个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n 互不相容，且 niiA1   ，则这些事件概率的和等于 1， 即

　niiA P11 ) ( . 7.条件概率 设 A ， B 是同一随机试验的两个事件，且 P( A )>0，则称 ) () () | (A PAB PA B P 

　为事件 A 已发生的条件下事件 B 发生的条件概率。

　8.事件的独立性 （1）两个事件的独立性：若 P ( AB )= P ( A ) P ( B )，则称 A 与 B 是相互独立的。

　若 P( A )>0， P ( B )>0，则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 . )] ( ) ( [ ), ( ) ( A P B A P B P A B P  

　若 A 与 B 是相互独立的，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相互独立。

　 , 与任何事件相互独立。

　（2）多个事件的独立性：对于三个事件 A ， B ， C ，若下列各等式同时成立，则称它们相互独立。

　P ( AB )= P ( A ) P ( B )； P ( BC )= P ( B ) P ( C ); P ( AC )= P ( A ) P ( C ); P ( ABC )= P ( A ) P ( B ) P ( C ). 若前三个等式成立，则称 A ， B ， C 两两相互独立。

　对 n 个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，若对于所有可能的组合 1≤ i < j < k ≤ n ， 有

　 ) , , 2 , 1 , , ( ), ( ) ( ) ( n j i j i A P A P A A Pj i j i   

　) , , 2 , 1 , , , ( ), ( ) ( ) ( ) ( n k j i k j i A P A P A P A A A Pk j i k j i    

　…… ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 n nA P A P A P A A A P    ， 则称 A 1 ， A 2 ，…， A n 相互独立。若只有第一个等式成立，则称 A 1 ， A 2 ，…， A n 是两两相互独立的。可见 n 个事件相互独立必定两两独立，反之未必成立。

　（3）试验的独立性：若试验 E 1 的结果的发生与试验 E 2 的结果的发生是独立的，则称试验 E 1

　与 E 2 是独立的。若在同样的条件下，重复做同一试验，且各次试验是相互独立的，则称为重复独立试验。

　9.概率的乘法公式 （1）对任意两个事件 A ， B

　有

　) 0 ) ( ( ), ( ) ( ) (   A P A B P A P AB P

　) 0 ) ( ( ), ( ) ( ) (   B P A B P B P AB P

　（2）对于相互独立的两个事件 A， B

　有

　). ( ) ( ) ( B P A P AB P 

　（3）对于任意 n 个事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，若 , 0 ) (2 1nA A A P 

　有

　 ). ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 n n nA A A A P A A A P A A P A P A A A P   

　（4）对于 n 个相互独立的事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A A 

　10.全概率公式与贝叶斯公式 全概公式：若事件组 B 1 ， B 2 ，…， B n 满足 （1）

　B 1 ， B 2 ，…， B n 两两互不相容，且 P ( B i )>0，（ i =1,2,…, n ）； （2）

　.2 1 nB B B    

　则对于任一事件 A

　皆有

　) ( ) ( ) (1iniiB A P B P A P 。

　贝叶斯公式（逆概公式）：在全概公式中（1）、（2）成立的条件下，若 P ( A )>0， 有

　 ). , , 2 , 1 ( ,) ( ) () ( ) () (1n jB A P B PB A P B PA B Pnii ij jj   11.贝努里概型 若随机试验满足两个条件：

　（1）每次试验只有两个可能结果 A 及 A ，且 P ( A )= p ， ); 1 0 ( , 1 ) (      p q p A P

　（2）

　n 次实验中，各次试验相互独立。

　则称这样一种概型为 n 重贝努里概型。

　在贝努里概型中， n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率由以下公式给出 ) , , 2 , 1 , 0 ( , ) ( n k q p C k Pk n k kn n  ， 此式也可称为二项概率公式。

　有些试验结果虽不止两个，但根据问题的性质，仍可归结为贝努里概型。如考察电子管寿命，它当然可取不小于零的任意数值，但是，若把寿命大于 500 小时的作为合格品，其余为次品，就可认为是两种不同的结果，属贝努里概型。

　二、要求 1.了解概率论与数理统计的研究对象，内容及方法。

　2.掌握随机试验，样本空间，随机事件等概念。

　3.熟悉事件之间的关系及运算，并能恰当地用事件表示实际问题。

　4.正确理解随机事件的概率的概念，熟记概率的性质。

　5.掌握古典概型的概念，能熟练地计算古典概型的几类基本问题。

　6.掌握条件概率及与条件概率有关的公式：乘法公式，全概公式和贝叶斯公式，并能熟练地运用这些公式计算概率。

　7.掌握随机事件和随机试验的独立性的概念，并能熟练地运用独立性计算有关概率问题。

　8.正确理解互不相容事件，对立事件，独立事件的概念及三者之间的关系。

　三、例题分析 例 1

　一袋里有 5 个球，它们分别标号 1，2，3，4，5.试写出下列随机试验的样本空间。

　（1）从袋中一次任取两球，记录取出球的号码； （2）从袋中任取一球，取后不放回袋中，再从袋中任取一球，记录两次取球的号码； （3）从袋中任取一球，取后放回袋中，再从袋中任取一球，记录两次取球的号码； （4）从袋中每次取一球，取后不放回，直到取到一号球为止。

　分析（1）此试验为一次取两球，没有取球的先后顺序问题。从 5 个球中取出两球的每一种取法为一个基本事件，不同取法的总数即为基本事件的总数，共有 1025 C 种，即样本空间包含 10个基本事件。

　（2）此试验为不放回抽取，两次取得球的标号不能相同，且与取球的先后顺序有关。第一次取球时袋中的 5 个球中的任何一个都可能被取到，第二次取球时，袋中剩下的 4 个球中的任何一个都可能被取到，按这种方式取球共有 2025 P 种取法，即样本空间包含 20 个基本事件。

　（3）此试验为有放回抽取，两次取得球的标号可以相同，且每次从袋中取球时都有 5 个球。按这种方式取球，共有 5 2 种取法，即样本空间含有 25 个基本事件。

　（4）此试验有以下特点：每次取得的标号不同；每次取球时袋中的球都比前一次少一个，且袋中的任何一个球都可能取到；取到一号球试验就结束。因一号球可能在第 i 次取到，( i =1,2,3,4,5)，所以共有 65 144342414     P P P P 种不同取法。

　解

　（1）设( i , j )表示取到的两球的号码。( i , j =1,2,3,4,5).于是样本空间可表示为 )} 5 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {(1 

　（2）设( i , j )表示第一次取到 i 号球，第二次取到了 j 号球.( i , j =1,2,3,4,5).于是有 )} 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 5 , 4 (), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {(2  )} 5 , 5 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 (), 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 {( 33  ）

　（ } ) 1 , 5 , 3 , 2 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 1 , 4 , 5 ( ), 1 , 3 , 5 ( ), 1 , 2 , 5 ( ), 1 , 5 , 4 (), 1 , 3 , 4 ( ), 1 , 2 , 4 ( ), 1 , 5 , 3 ( ), 1 , 4 , 3 ( ), 1 , 2 , 3 ( ), 1 , 5 , 2 ( ), 1 , 4 , 2 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 1 , 5 ( ), 1 , 4 )( 1 , 3 ( ), 1 , 2 ( ), 1 {( 44  ）

　（

　评注

　（1）确定试验的样本空间是计算概率的基础，首先要弄清试验的方式及试验的基本事件的特征，其次要确定基本事件的总数，然后将所有基本事件一一列出；（2）确定基本事件总数时，如果不考虑顺序，通常采用组合方法计算。如果考虑顺序，在不放回抽样情形，可采用无重复排列的方法计算；在放回抽样情形，可采用重复排列的方法计算。

　例 2

　某地区有 100 人是 1910 年出生的，考察到 2000 年活着的人数。

　（1）试用样本点的集合表示事件“只有 5 人活着”，“至少有 5 人活着”，“至多有 4 人活着”； （2）试判断上述三事件中有无互不相容事件，对立事件。

　分析

　本题应先说明试验的一个基本事件如何表示，进而确定要表示的事件由哪些基本事件构成。

　解

　（1）设 i 表示到 2000 年有 i 个人活着，( i =0,1,2,…,100)， A ， B ，C 依次表示题中的三个事件，则它们可分别表示为 A ={5}， B ={5，6，…100}， C={0，1，2，3，4}.

　 （2）由于     BC AC , ，所以 A 与 C，B 与 C 都是互不相容的。又由于 }, 100 , , 2 , 1 , 0 {   

　有

　 C B   } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 {

　所以 B 与 C 是对立事件。

　评注

　随机事件实际上是样本空间的一个子集，事件发生当且仅当子集中的一个样本点发生。因此，可以把对事件的分析转化为对集合的分析，利用集合间的关系来分析事件间关系。

　例 3

　设随机事件 A 、 B 互不相容， ( ) , ( ) ....