“指数”（第2课时）教学设计

梁颖利

摘  要：将指数幂的拓展过程放在数系扩充的大背景下，类比初中正整数指数幂到整数指数幂的拓展过程，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的拓展过程，建立拓展指数幂的整体架构，理解数学运算的一致性.

关键词：分数指数幂；
无理数指数幂；
指数幂的拓展；
教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

分数指数幂和无理数指数幂的含义，指数幂的运算性质.

2. 内容解析

数及其运算的产生和发展是推动数学发展的重要源泉和动力，数、式、方程、函数等内容的基础是数及其运算，函数是数及其运算的延伸和发展.

本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）第四章“指数函数与对数函数”第一节“指数”的部分内容. 指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集. 为研究指数函数，需要把指数幂运算的范围进一步拓展. 类似于先把整数拓展到有理数，再把有理数拓展到实数，本节课将指数幂由整数指数幂拓展到有理数指数幂，然后拓展到实数指数幂，进而为指数函数的学习奠定基础. 为了让学生完整地体验指数幂的拓展过程，将“指数”内容分为两个课时，本节课是第2课时，主要内容是分数指数幂和无理数指数幂的含义和运算性质，以及指数幂的拓展过程.

在指数幂运算的拓展过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立”是核心思想. 对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的拓展过程中已经有所体会，本节课要让学生进一步体会.

学习指数幂的运算，必须解决无理数指数幂的问题. 但是幂的指数由有理数拓展到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果. 因此，对无理数指数幂的理解是本节课教学的难点. 可以类比初中用有理数逼近无理数的经验，从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂，并在数轴上表示对应的点，从数和形两个角度认识无理数指数幂的意义，并体会其中的极限思想.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为实数指数幂的运算及其性质，教学难点为用有理数指数幂逼近无理数指数幂.

二、目标和目标解析

1. 目标

本节课教学目标设置如下.

（1）认识有理数指数幂[amn]（[a>0]，[m，n]为整数，[n>1]）和无理数指数幂的含义.

（2）了解指数幂的拓展过程.

（3）掌握指数幂的运算性质.

2. 目标解析

达成上述目标的标志如下.

（1）认识正数的正分数指数幂的意义[amn=amn]（[a>0]，[m，n]为正整数，[n>1]）和正数的负分数指数幂的意义[a-mn=1amn]（[a>0]，[m，n]为正整数，[n>1]），知道分数指数幂是根式的另外一种表达形式，并能将分数指数幂与根式互相转化. 无理数指数幂的理解是本节课的难点，只需要让学生知道任何正数的实数指数幂都是确定的实数，能通过逼近的方法直观认识它，并体会其中的极限思想.

（2）通过回忆，类比初中由正整数指数幂到负整数指数幂的拓展过程，经历由整数指数幂到有理数指数幂的拓展过程，体会其拓展过程的核心思想是“使幂的运算性质仍然成立”，了解分数指数幂的引入不仅消除了运算性质中的一些限制，还实现了乘方与开方运算的統一. 而有理数指数幂拓展到无理数指数幂的过程是有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程.

（3）实数指数幂的运算性质完全因袭了整数指数幂的运算性质，在操作层面上与整数指数幂的运算没有区别，学生有一定的基础，通过练习巩固即可掌握.

三、教学问题诊断

本节课是“指数函数”的前一节课. 指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集. 为了研究指数函数，需要把指数幂运算的范围进一步拓展. 教材从已知的平方根、立方根的意义入手，先学习[n]次方根，再由几个特殊的例子归纳发现分数指数幂与[n]次方根概念的联系，规定了分数指数幂的意义. 在教学实践中，这个过程学生会比较容易接受，但是学生会感觉不知道为什么要先学习根式，而是被教师牵着走. 因此，本节课从学生初中已经熟悉的整数指数幂的定义及运算性质入手，采用在初中引入零指数幂和负整数指数幂的定义过程，在“使整数指数幂的运算性质仍然成立”思想的指引下，将整数指数幂拓展到分数指数幂，建立分数指数幂与[n]次方根的联系，得到分数指数幂的意义. 既让学生认识到分数指数幂的含义，又使学生体会到指数幂运算的拓展过程的核心思想是“使原有的运算性质仍然成立”.

无理数指数幂的理解是本节课的难点，可以类比初中用有理数逼近无理数的方法，让学生经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，然后在数轴上表示它们的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂. 由此让学生体会其中蕴含的极限思想，并从数和形两个角度认识无理数指数幂是一个确定的实数. 不需要对学生要求更多.

四、教学支持条件

多媒体PPT辅助教学；
利用计算工具，计算[52]的近似值，帮助学生体会有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；
利用信息技术作图，在数轴上将[52]附近逐步放大，直观展示逼近过程，加深学生对无理数指数幂的理解.

五、教学过程设计

1. 分数指数幂及其运算性质

问题1：某景区统计了近几个月的游客人次，发现在免门票政策的带动下，每月的游客人次都是上一个月游客人次的1.1倍，如果按照此规律增长下去.

（1）2个月后的游客人次为现在的多少倍？

（2）3个月后的游客人次为现在的多少倍？

（3）3个半月后的游客人次为现在的多少倍？

师生活动：学生回答. 回答后指出这是初中学过的幂运算[an]，当指数为正整数时，其意义是[n]个[a]自乘. 当指数为小数或分数时不会计算，需要把幂的指数拓展.

【设计意图】第（1）小题和第（2）小题从学生认知的最近发展区出发，既是让学生回顾初中指数幂及其运算的相关知识，又是搭建“脚手架”，为后面问题的提出作好铺垫；
第（3）小题是要激发认知冲突，使学生认识到拓展指数的必要性，从而引入本节课的课题和学习内容.

追问：我们以前学习过数系的扩充过程，是否可以借鉴呢？

师生活动：教师引导学生回忆数系的扩充过程，从而得到指数的拓展路径.

【设计意图】指数的拓展过程与数及其运算的扩充过程有关联，通过回忆将本节课的内容放在数系扩充的大背景下进行，让学生体会数学的整体性.

问题2：回忆初中由正整数指数幂到整数指数幂的拓展过程，零指数幂[a0]和负整数指数幂[a-n]是如何引入的？

师生活动：学生回答[a0]和[a-n]的意义，教师适当引导，使学生体会指数的拓展是为了使正整数指数幂的运算性质适用范围得到扩充. 最后指出负整数指数幂的引入消除了运算性质中的限制，扩大了运算性质的适用范围，简化了运算性质. 其中，幂的乘法对应指数的加法，幂的除法对应指数的减法，引入负数后，加减运算统一，从而幂的乘除运算统一，运算性质合并为三条.

【设计意图】学生通过回顾初中正整数指数幂到整数指数幂的拓展过程，体会指数幂运算的拓展过程的核心思想是原有的运算性质在新的范围中仍然成立.

问题3：已知[x3=2]，求[x6]，[x9].

师生活动：学生思考并回答，[x6=x3×2=x32=22]，[x9=x3×3=x33=23]. 教师追问每一步的计算依据（即整数指数幂的运算性质）.

追问1：已知[x3=2]，求[x7].

师生活动：学生独立思考并尝试. 一是类比前面的问题利用整数指数幂的运算性质求解，但发现指数为分数，不确定能否适用；
二是通过开方运算求出[x]，利用根式的运算求解. 教师展示学生出现的各种不同的运算过程和结果，让学生互相评价，最后使学生感受到[n]次方根和分数指数幂之间是存在联系的.

追问2：如果像求[x7]一样，也通过开方运算，利用根式表示[x6]，[x9]，结果是什么呢？

师生活动：学生思考后回答，[x6=263=22]，[x9=][293=23]. 教师引导学生观察幂的指数与被开方数的指数和根指数的关系，归纳规律，自然地得出[273]可以写成[273]，而且根据根式的性质[2733=27=273×3]，指数幂的运算性质（如[akn=akn]）仍然成立. 推广到一般情况，规定正数的正分数指数幂的意义为[amn=amn]（[a>0]，[m]，[n]为正整数，[n>1]）.

追问3：本节课开头的问题[1.13.5]可以计算了吗？

师生活动：学生回答，[1.13.5=1.172=1.17≈1.396].

追问4：当指数为负分数时，[a- mn]的意义是什么？

师生活动：学生回答，[a- mn=1amn]（[a>0]，[m]，[n]为正整数，[n>1]）.

【设计意图】从实例出发，将[n]次方根与分数指数幂建立联系，当指数6和9都是3的整数倍时，可以利用已有的整数指数幂的运算性质求解. 当指数7不是3的整数倍时，一方面可以利用已学过的[n]次方根的概念计算；
另一方面，又迫切希望引入分数指数幂，并且使得整数指数幂的运算性质对分数指数幂适用. 将两者自然地联系起来，然后通过具体实例的归纳，从特殊到一般，从具体到抽象，建立分数指数幂与[n]次方根的关系：分数指数幂是[n]次方根的一种表现形式，两者是统一的.

例1  求值：（1）[823]；
（2）[1681-34].

师生活动：学生计算并回答. 之后学生指出分数指数幂的计算既可以利用概念转化为根式计算，也可以利用运算性质计算. 教师让学生比较两种运算方法的简洁性.

【设计意图】通过具体的运算，巩固分数指数幂的概念、意义及分数指数幂的运算性质.

例2  用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中[a>0]）.

（1）[a2 ? a23]；

（2）[a ? a3].

師生活动：学生计算并回答. 之后学生指出把根式转化为分数指数幂，再利用有理数指数幂的运算性质进行计算，可以简化根式的运算.

【设计意图】通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和[n]次方根的互相转化，特别是把[n]次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式.

2. 无理数指数幂及其运算性质

当指数是无理数时，[ax]的意义是什么呢？如[52].

师：初中，我们通过[2]的不足近似值这一串有理数和[2]的过剩近似值这一串有理数逐步逼近认识了[2]的意义. 那么，无理数指数幂[52]的意义是什么呢？

问题4：类比初中认识无理数[2]的过程，能否探究无理数指数幂[52]的意义是什么？

师生活动：教师引导学生回顾初中通过有理数认识无理数的过程，类比思考无理数指数幂[52]的意义. 教师展示表1中的数据，并将相应的数值在数轴（如图1）上表示，让学生理解逐渐逼近的过程.

【设计意图】由于无理数指数幂没有实际背景，完全是数学理性思维的结果，而且学生还没有极限的概念，所以对逐步逼近理解起来比较困难. 这里通过表格和数轴两种方式展示逐步逼近的过程，用表格展示数据呈现具体数值，用数轴表示数值直观展示逼近过程，两者结合，相得益彰，加深学生对无理数指数幂的理解.

师：类比[52]的探究过程，可以知道，无理数指数幂[aα]（[a>0]，[α]为无理数）是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与之对应. 这样指数幂[ax]（[a>0]）中的指数就可以取任意实数，且原有的运算性质也适用于实数指数幂.

3. 归纳小结

（1）指数幂的拓展过程如图2所示.

（2）指数幂拓展的核心思想：整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立.

【设计意图】回顾本节课的主要知识和研究过程，总结指数幂拓展的核心思想和基本原则.

4. 布置作业

教材习题4.1第2 ～ 10题.

六、目标检测设计

计算下列各式.

（1）[364932]；

（2）[23×31.53×126]；

（3）[23m323].

【设计意图】考查学生对实数指数幂意义和运算性质的理解.

参考文献：

［1］章建跃. 用函数图象和代数运算的方法研究“幂指对”函数［J］. 数学通报，2020，59（10）：1-11.

［2］李大永，章红. 基于整体把握的运算主线下的“分数指数幂”教学［J］. 数学教育学报，2016，25（1）：61-66.

［3］周星宇. 从数学内部提出问题，在运算法则下解决问题：对“分数指数幂”的教学思考［J］. 中小学数学（高中版），2019（11）：51-53.