概念教学，让思维拾级而上

陈靖涛

数学概念是抽象的产物，推理的基础，模型应用的前提，如何开展概念教学是数学教师研究和关注的重要课题．笔者认为概念教学应当遵循层级发展，在不同的阶段设计合适的教学环节，实现层层深入，最终提升数学学习品质，培育数学核心素养．

1 概念教学

罗增儒教授指出，“数学概念是数学血肉细胞，数学思想是数学肌体的灵魂[1]．一个没有血肉、没有灵魂的人，即使穿上华丽的外衣，也是僵尸；
同样，没有数学概念做血肉，没有数学思想做灵魂，即使给解题穿上华丽的外衣，也是僵尸数学”[1]．

数学概念是抽象的产物、推理的基础、模型应用的前提．掌握概念是一切数学活动的开始．数学概念是数学的细胞，更是数学的灵魂，数学教学离不开概念教学，数学概念教学是数学教学的核心．

2 有层次地认识平移

从《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）看，平移是“图形的变化”领域中一块重要的内容．让图形在头脑中动起来，有助于学生几何直观能力的培养．通过图形的平移探寻不变的几何性质，是学生以“运动”视角研究图形的开篇，因此，平移概念的教学至关重要，

《课标》在不同学段，对平移提出了不同的要求，从内容上看，平移是在对平行线充分认识的基础上展开的，是平行线的一个应用，这里的应用更多是指赋予学生“平行线”的视角观察平移的眼光，是在知识储备已经提高了观察品质之后进行的学习，与前两个学段的学习有着本质的区别．

笔者认为，在平移概念的教学中，对平移的认识有以下五个层级，

层级1在平移现象中，对平移有感观认知，这时对平移的认识是感性朦胧的、模糊的，是平移概念形成的原始感性素材，

层级2在描图操作中，体会只有“方向”和“距离”两个要素的共同参与，才能完成图形的平移．这时对平移的认识是感性具体的、直观的，能为进一步探究提供操作素材．

层级3在观察和思考中，归纳概括平移的本质特征，得到“新图形与原图形全等”和“对应点连线平行且相等”两条性质，认识到点的平移是图形平移的本质，虽然图形不同，点的选取不同，但点的运动规律相同．这时对平移的认识是理性具体的，对平移运动的关注点实现从整体到局部的转换，复杂图形的平移转化成了简单的“点”的平移，对平移的认识从感性走向理性，是思维品质质的飞跃．

层级4形成平移的概念，在利用“对应点”实现平移的作图或者图案设计的过程中，充分感受给定平移方向和距离就确定了平移，给定一对对应点也就确定了平移，这时对平移的认识是理性抽象的，是“精致”的概念，不仅可以从万千变化中识别和区分开来，而且能自觉指导实践，

层级5在用坐标表示平移的探究中，建立形的性质与数的结构之间的联系，借助几何直观理解问题，获得用平移的视角认识和研究事物的经验，这时对平移的认识上升到了理性迁移，形成几何直观能力，形成探索解决问题的新思路，获得用数学的眼光（直观想象）看世界的能力．

3 平移概念的教学策略

概念同化是学生获得数学概念的最基本方式[4]．但是，由于学生此前对平移的认识处于感性朦胧的状态，作为“固着点”的已有知识不足，因此，平移概念无法在认知结构中获得“平衡”．所以需要经历一个由感性朦胧、感性具体、理性具体、理性抽象到理性迁移的形成过程，

笔者认为，应当遵循平移概念的层级发展，在不同的阶段，设计合适的教学环节，让学生实现平移概念认识的逐级提升，层层深入，最终提升数学学习品质，培育数学核心素养，

环节1观察与欣赏

展示履带传送商品的过程，演示黑板擦沿着黑板边缘水平或竖直擦黑板的过程．我们是否学习过这种移动方式？它叫什么？

欣赏上面美丽的图案，请你说说它们的共同的特点吗？你能根据其中一部分绘制出整个图案吗？应该怎样绘制？说说你的看法，

设计意图调动学生的生活经验，提出研究的课题，同时唤醒学生原有认知结构中对平移感性朦胧的认识，

环节2描图

如图2，在一张半透明的纸上，尝试画出一排形状和大小完全一样的小屋子．设计意图“一排”对应着“直线”，暗含着“方向”；
描出第1个，第2个，第3个……第n个的区别就在于“距离”．在描图操作中，体会只有“方向”和“距离”两个要素的共同参与，才能完成图形的平移，形成对平移感性具体的认识，为进一步探究提供操作素材．

环节3描述平移

这些平移都有确定的起始位置和结束位置，我们选择其中一个平移过程进行研究，请你描述一下是原图形如何平移得到新图形？新图形与原图形之间有什么样的关系？

设计意图在观察和思考中，归纳概括出平移的本质特征，得出“新图形与原图形全等”和“对应点连线平行且相等”两条性质．为了更细致地描述，需要说明距离，而学生已经有两点之间距离的概念，自然会联想到利用点来描述距离．为了加深学生对“对应点”的含义的理解，在实际教学中可以采用以下“有意偏差”的策略，

如图3，点A平移后与点A重合，故点A和点A是对应点，而点A”不是点A的对应点，

在该环节中，学生充分认识到点的平移是图形平移的本质．虽然图形不同，点的选取不同，但点的运动规律相同，对平移运动的关注点实现从整体到局部的转换，复杂图形的平移转化成了简单的“点”的平移，对平移的认识从感性具体走向理性具体，是学生思维品质飞升的重要环节，

环节4平移AABC

如图4，平移AABC使得点A移动到点A，

设计意图本环节画图与之前画图有本质的区别，第一次画图是在对平移感性朦胧认识的基础上进行“描图”，第二次画图是在形成平移概念的认识下，自觉利用“對应点”实现平移的作图，是在理性认识平移的前提下，将复杂图形的平移转化成“点”的平移，是理论指导下的实践．

4 教学反思

4.1概念教学是个漫长的过程

显然，通过上述教学环节的实施，学生对平移的认识只是达到了层级4，而到达层级5绝不是一蹴而就，思维的提升是需要一个漫长的过程，纵观人教版教材，我们看到这个过程的艰辛，

第五章相交线与平行线：赋予观察平移的知识储备；

第七章平面直角坐标系：用坐标表示平移，建立数与形联系；

第十三章轴对称：类比平移的研究思路展开；

第十八章平行四边形：线段平移得到平行四边形对边平行且相等，实现以平移的视角认识基本图形；

第十九章一次函数：平移函数图象，建立数式结构与图象之间的联系；

第二十二章二次函数：以平移的视角研究二次函数，从顶点式推至一般式得到二次函数图象的性质，密切了数式的结构与图象性质之间的联系；

第二十三章旋轉：再次类比平移的研究思路展开，总结研究图形变换的一般思路，综合运用平移、轴对称、旋转三者设计图案，

在各地市的中考试题中，不乏有借助几何直观理解问题，利用平移获得解题思路，构建数学问题的直观模型，高中阶段以及高等数学以变换的观点来研究函数图象的例子随处可见，生活中通过平移设计图案、制作商品零件、工程制图更是比比皆是，渗透于此，认识如是，才能真正获得用数学的眼光（直观想象）看世界的能力．

4.2类型相同的概念，教学方式相近

等距变换下的不变性是欧式几何的研究内容[2]．初中阶段学生学习的平移、旋转、轴对称都是等距变换，因此，平移作为第一个学生学习的图形变化，承担着构建几何变换研究思路的任务，

中学阶段研究图形的变换大致包括以下内容：

①调动生活经验，通过实例认识图形的变换；

②在操作中探索图形变换的性质；

③作出一个图形变换后的图形；

④利用图形的变换进行图案设计；

⑤用坐标表示图形的变换．

不论是平移还是轴对称、旋转、相似变换，研究对应点的变化才是图形变化的实质，这是从整体到部分，复杂到简单，感性到理性的必然选择；
所以平移的概念要重视对“对应点”教学，达成图形变换以“对应点”的研究为抓手的共识，

总之，概念教学应当遵循层级发展，在不同的阶段，通过设计合适的教学环节，实现层层深入，才能提升数学学习品质，培育数学核心素养，

参考文献

[1]王淼生．概念：数学教学永恒主题[M]．厦门：厦门大学出版社，2018

[2]曹才翰，章建跃．数学教育心理学[Ml．北京：北京师范大学出版社，2021