数学问题解决中直观想象的运用

凌璐予

摘 要：直观想象是分析和解决数学问题的重要手段。数学问题解决中直观想象的运用，可以融合转化与建模的策略，经历数形转化、模型建立等过程，借助直观模型，获得解决实际问题的一般思路与方法。由此，《计算经过时间》一课的教学，可以引导学生经历如下三个环节：自主转化，初步建立问题解决的直观模型；
引导转化，深度理解问题解决的直观模型；
多元转化，变式丰富问题解决的直观模型。

关键词：小学数学；
直观想象；
问题解决；
计算经过时间

一、直观想象与数学问题的解决

直观想象可以建立数学问题的直观模型，探索解决问题的思路，是分析和解决数学问题的重要手段。尤其是对以直观形象思维为主的小学生来说，可以利用图形简单、直接地描述和刻画数学问题（包括实际应用问题），借助几何直观和空间想象认识和理解问题，从而把握问题本质，形成解题思路与方法。特别是对比较复杂和抽象的数学问题来说，通过直观想象来解决，能起到事半功倍的效果。

二、策略要义

一是转化。转化又称化归，即采用某种手段，把一个有待解决的问题转变成已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。［1］二是建模。建模是指通过抽象、简化，运用数学知识、语言，建立近似的数学模型（一般化、可迁移的数学本质），进而解决实际问题的一种策略。直观想象支持下的数学问题解决中，转化是建模的前提，建模是转化的提炼，两者相互作用。使用转化与建模策略，一般要经历“几何直观—数形转化—数学抽象—模型建立—模型运用—方法内化”过程，通过以形助数、以形助形等转化策略，利用直观图形表达抽象的数量关系，建立直观的思维模型与形式模型，让抽象的问题形象化，得到解决问题的一般思路与方法。

三、实践案例

现以人教版小学数学三年级上册第一单元《时、分、秒》的第二课时《计算经过时间》为例，具体阐述数学问题解决中直观想象运用的转化与建模策略。

“计算经过时间”是生活中常见的数学问题，包括不跨时、到下一个整时、跨时三种类型的计算。虽然教材循序渐进地编排问题类型，符合学生的认知规律，但是经过的时间不同于可视的长度，也不同于可感的质量，它是动态、抽象的，对以具体形象思维为主的三年级学生来说，具有一定的难度。课前，我们用三类问题的具体例子（每道题可以写多种方法）对学生进行检测，结果如表1所示。

可以看到，三道题的正确率逐渐下降，选择列式方法的人数占比也明显下降。这表明，多数学生还不会以“数学运算”这一纯抽象的方法来解决“计算经过时间”问题，他们对时间点的认知强于对时间段的感知，因此，简单地认为结束时刻与开始时刻的差就是经过的时间，出现“9：40-9：20=20（分）”“940-920=20（分）”這样的错误表征方式。但是，给足学生思考的时间（想到几种写几种）后，很多学生还是会用画钟面、时间尺的方式来外显自己的思维过程。

因此，教学中，可以引导学生借助直观想象支持下的转化与建模策略，通过明确形与数（量）的联系，实现抽象与形象、无感与可感之间的转化，进而建立直观模型，探索解决问题的思路与方法。

（一）自主转化，初步建立问题解决的直观模型

【教学活动1】 计算不跨时活动经过的时间

教师提出问题：“幸福嘉年华活动中的一些活动的时间安排是这样的。跳跳球游玩时间为8：10—8：45。跳跳球可以玩多长时间？”多数学生不假思索地喊出：35分。教师请学生说说是怎样得到的。学生说出算式：45-10=35（分）。教师又请学生用其他方法验证这样算对不对。很多学生用画钟面（如图1所示）或时间尺（如图2所示）的方法，5分5分地数出了经过的时间是35分。教师用课件动态演示学生画图数出经过时间的过程。

这一活动实现了两个层面的目标：

一是基于前测发现的学生认知起点，抓住三年级学生的表现欲，让学生计算跳跳球游玩经过的时间，激发学生探索的兴趣，激活学生已有的经验，促使学生自发使用多种方法理解什么是经过的时间，展现解决问题的过程。

二是在交流方法的过程中，学生将式转化为形，沟通计算思维与图形思维，通过画图（钟面、时间尺）初步建立直观模型，清楚地看到时间经过留下的痕迹，体验到时间的长短，建立起“经过时间”的表象（并非时间点的相减，而是时间段的长度），从而真正理解“经过时间”，强化思维过程，解决计算问题。

（二）引导转化，深度理解问题解决的直观模型

【教学活动2】 计算跨时活动经过的时间

教师继续提出问题：“降落伞游玩时间为8：45—9：20。降落伞可以玩多长时间？”学生尝试解决后交流。有学生回答：45-20=25（分）。对此，有学生点头赞同，有学生提出不同的想法以及相应的困难：应该是20-45，可是减不了。教师顺势提出问题：减不了怎么办？有了之前的活动经验，很多学生想到画钟面（如图3所示）或时间尺（如图4所示），借助整时化繁为简，分两段跳着数出了经过的时间是35分。由此，教师用课件在钟面上动态拉出时间尺（如图5所示），引导学生得到（理解）算式：60-45=15（分），15+20=35（分）。

这一活动在两个层面做了思考：

一是创造性地处理教材，让问题更具挑战性。教材在通过例题让学生计算7：30-7：45经过的时间后，给出“做一做”，让学生计算8：40-9：00经过的时间。虽然计算8：40-9：00经过的时间是难点，60分需要学生想象出来，但是，根据前测结果，接近60%的学生能列式算出正确结果，可见多数学生知道9：00就是8：60。由此，学生并不能很好地感悟整时在计算经过时间中的重要性。于是，将9：00改为9：20，让学生在验证计算不跨时的经过时间可以用“分”直接相减后，尝试计算跨时的经过时间，从而突破思维定式，发现问题本质，感受整时的重要性。这里，用“分”直接相减不够减引发认知冲突，使学生不得不思考其他方法，特别是画图方法来解决问题。

二是差异化呈现学材，让学生对直观模型的认识更深刻。计算8：45—9：20经过的时间时，学生又想到了画钟面或时间尺的方法，从而对8：45—9：20分段转化为8：45—9：00—9：20有了直观的感知。此时，在钟面上动态拉出时间尺，学生便会借助直观模型，思考算式的列法与含义。在算式与图形的充分沟通中，学生不仅理解了直观模型的内涵，更明确了如何利用直观模型分析和解决问题。

（三）多元转化，变式丰富问题解决的直观模型

【教学活动3】 跟进练习

教师出示跟进练习：“9：55—10：30经过了多长时间？10：40—11：15经过了多长时间？用喜欢的方法记录思考过程。”有的学生用时间尺记录计算过程，但更多学生没有借助时间尺，而直接列式计算。交流反馈时发现，其实直接列式计算的学生心中也有一把无形的时间尺在帮助他们思考。

在学生理解计算经过时间的算理后，安排跟进练习让学生熟练算法，用喜欢的方法把想法记录下来，旨在鼓励学生对问题进行多元转化。学生能从画有形的时间尺到“画”无形的时间尺，表明他们真正理解了计算经过时间的方法本质。［2］

【教学活动4】 拓展練习

教师出示拓展练习：“义卖活动时间1：20-3：05，义卖活动经过了多长时间？用喜欢的方法记录思考的过程。”学生出现了两种不同的算法：（1）60-20=40（分），40+5=45（分）；
（2）1小时=60分，60-20+60+5=105（分）。教师引导学生想象相应的时间尺，在对比中认识到：第一种算法是机械模仿之前练习的算法，分成两段计算；
第二种算法才真正理解了经过时间的实质，根据具体问题的特点分段计算。

跟进练习中时间段的“时”都是相邻的，一成不变的题型易造成学生的机械模仿，因此在拓展练习中，设计时间段的“时”不相邻，旨在帮助学生突破思维定式，从模仿到创造。由此，引导学生比较不同的算法，走向思维的深处，体会“计算经过时间”问题万变不离其宗，都可以借助直观想象化数为形、建立模型来解决。

总之，借助直观想象，通过转化与建模，可以很好地将抽象的时间形象化，凸显思维的过程，明晰问题的本质，提高学生分析和解决实际问题的能力。

参考文献：

［1］ 许瑞平.巧用转化策略，优化数学思维［J］.江西教育，2021（3）：45-46.

［2］ 薛跃东.借助几何直观 解决实际问题——“求简单的经过时间”教学片断与思考［J］.小学数学教育，2019（1/2）：81.