摘 要：牛顿说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法是从结论入手进行反面思考，使问题的解决变得更加简单。反证法在数学中有着广泛的应用，反证法是一种重要的数学工具。反证法是一种间接证法，其中的精髓在于采用逆向思维，反证法的核心是否定题设找矛盾，怎么去找矛盾，这是反证法的关键，也是它的难点，从而确认命题的真实性。然而，一般人都比较习惯正向思维，利用反证法的时候非常吃力，甚至会不习惯，然后就避而不用。反证法在一些数学证明题当中是一个很好的方法，教师一定要掌握其要领，对学生加强逆向思维原则的教育，培养学生思维的灵活性、创造性。
关键词：反证法；数学分析；逆向思维
反证法的发现是人类文明史上的一个伟大而又深刻的结晶，在数学的发展中功不可没，早在很多年以前，古希腊数学家欧道克斯利用反证法发现了无理数，罗巴切夫斯基发现非欧几何学，从一定的精神层面上来说，总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从中得到启示的结果。反证法不但在数学的发展和证明中起着相当大的作用，而且在学习、领会和深入对数学进行钻研时，也离不开反证法，反证法可以解决我们生活中的很多难题，总之，用反证法证明一个真命题，最后一定要出现矛盾，或者导致题设自相矛盾，或者出现一个自相矛盾的结果。
一、反证法的基本思想和适用范围
1.反证法的基本思想
反证法是一种间接证明的方法，它的核心就是否定原命题，把结论当成题设，验证是否与之前相矛盾，基本过程是“否定—推理—矛盾—肯定”。这种方法在很大程度上帮助我们解决了很多用直接思维法解决不了的问题，但是这种方法同时也很难被初学者理解，所谓反证法就是通过证明论题的否定论题错误而肯定论题的方法，这种方法在解题的过程中一般分为三个步骤：（1）假定原命题的结论不成立；（2）将命题的结论当成题设，进行证明；（3）得出结论，及命题的结论是否正确。通常来说，如果命题的结论不容易直接进行证明，结论本身却很容易被判定，这时候采用反证法是最明智的选择。
2.反证法的适用范围
反证法虽然是在平面几何中出现的，但是对于数学的其他方面，比如在代数、三角、解析几何等很多方面都有着广泛的应用，但是反证法的适用范围一般有以下几个方面：
（1）否定性命题，即结论以“没有”“不是”“不能”等形式出现的命题，直接证法一般比较困难，这时采用反证法将会事半功倍。
（2）限定式命题，即结论中含有“至多”“至少”“最多”等词语的命题，这种命题如果用直接法来求解，工程量是相当之大的。
（3）无穷性命题，即题设中涉及各种“无限”字眼的命题。这种题目如果说是按照我们正常的思维直接进行论证时相当困难，因为题设的条件本身就比较宽泛，这时候应用直接法求解，无疑是大海捞针。
（4）某些存在性命题，例如很多题目会让你证明，对于任意的实数，存在一个等式恒成立，这时候用反证法不失为一种上上策。
（5）全称肯定性命题，即结论以“总是”“都”“全”等出现的，这种肯定性命题可以采用反证法来做解答。
（6）不等量命题的证明，例如不等式的证明，用到最多的也是最快捷的方法就是反证法，一般我们会从命题的对立面入手，这样可以简化题目本身的难度。
二、反证法应用过程中的注意事项
首先，正确否定结论是应用反证法的首要问题，必须正确地对结论进行否定，这样才能为下一步的论证打好基础；其次，必须明确推理的特点，在应用反证法推理题设的结果之前，不要事先就否定结论，或者肯定结论，任何论证都应该在脱离人的主观臆想之后才能进行的，不然只能得出错误的答案，与真相背道而驰。
综上所述，反证法是数学中一种重要的证明方法，是数学家的“最精良武器之一”，在许多方面起着不可替代的作用，反证法在数学问题中应用得最为广泛和巧妙，这种方法要是应用得好的话可以解决实际生活中其他的难题，反证法的精髓就在于，我们要试着逆向思维，有的时候应用逆向思维解题速度和质量将会大幅度提升，这不仅节省了我们的时间，提高了我们的效率，而且在一定程度上可以培养我们思考问题的方式，要从多方面、多角度来看待这个问题，有的时候，只要是换一个方向，你将会得到截然不同的效果，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”事物本身就是具有多面性，这就要求我们人类要从不同的角度来审视这个问题，虽然反证法的应用对于大多数人来说比较吃力，但是只要我们在这方面多下工夫，就一定能够达到精巧、严谨的程度，这在一定程度上对于提高我们的数学解题能力有着非常大的帮助。
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