A Class of Anti Smarandache Geometric Progression Cycle Determinant
Duan Weiguo
（渭南师范学院数学与信息科学学院，渭南 714000）
（College of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714000，China）
摘要：本文定义了一类新的反Smarandache几何级数周期行列式，并利用初等数论的方法和行列式的性质，对这类行列式进行了研究，给出了它们的通项公式。
Abstract: In this paper, we defined a new classes anti Smarandache geometric progression cycle determinants, and using the methods of the nature elementary theory and determinant properties, studied these determinants, and gave general term formula.
关键词:几何级数周期行列式 通项公式
Key words: the geometric progression cycle determinants；the general term formula
中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）32-0211-01
1引言及结论
在文献[1]-[5]中Murthy等人定义了一类Smarandache周期行列式序计算了其通项公式是，在本文中，我们将定义了一类新的反Smarandache 几何级数周期行列式，并利用行列式的基本性质，研究并给出它的通项公式。
定义1 对于任何正整数n，设a，q为复数，有n×n行列式序列FSJH（n：a，q），称为关于数（a，q）的n次对称反Smarrandache几何级数周期行列式，其定义如下：
FSJH（n：a，q）=aq■aq■… aqa a aq■… aq■ aq┆ ┆?埙 ┆ ┆ aq■aq■…aq■ aq■aq■aq■… aaq■
定义2 对于任何正整数n，设a，q为复数，有n×n行列式序列SFSJH（n：a，q），称为关于数（a，q）的n次双对称反Smarrandache几何级数周期行列式序列，其定义如下：
SFSJH（n：a，q）=aq■aq■… aqaaq■aq■… aq■ aq┆ ┆?埙 ┆┆ aq■ aq■…aq■ aq■ aaq■… aq■aq■
对于上述定义的两个新的几何级数周期行列式，我们在Murthy和A.A.K.Majumdar等人的研究基础上，利用初等数论的研究方法结合行列式的相关性质对其进行了研究，得到了以下结论：
定理 对于任何正整数n，设a，q为复数，则有
FSJH（n：a，q）=an（qn-1）n-1（1）
SFSJH（n：a，q）=anqn （n-2）（q2-1）n（2）
2相关引理
设b1，b2，…bn是n个复数，有n×n行列式：
PSH（b1，b2，…bn）=b1b2… bn-1bnbnb1… bn-2bn-1┆ ┆?埙 ┆┆ b3■ b4… b1 b2b2 b3■… bnb1=■（b1+b2x+…+bnxn-1）
其的证明见文献[3]。
3定理的证明
对于（1）式采用引理来证明。令行列式FSJH（n：a，q）中的aqn-1=b1，aqn-2=b2…a=bn，则FSJH（n：a，q）=PSH（aqn-1，aqn-2，…，a）=■（aqn-1+aqn-2x+…+axn-1）=an■（qn-1+qn-2x+…+xn-1）
如果xn=1，则（qn-1+qn-2x+…+xn-1）（q-x）=qn-1，由于
■（q-x）=qn■（1-x/q）=qn-1
则■（qn-1+qn-2x+…+xn-1）=■=（qn-1）n-1，所以FSJH（n：a，q）=an（qn-1）n-1
定理中（1）式得证。
对于（2）式采用直接法来证明。令
H=qn-1 qn-2… q 1qn-2 qn-1… q2q┆ ┆?埙 ┆┆ qq2…qn-1qn-21q… qn-2qn-1
则SFSJH（n：a，q）=anH，所以只需求行列式H即可。
把H的第2 行提出公因子q，第2行的-1倍加到第1行，然后按第1 行展开，得
H=q（qn-1-qn-3）qn-2 qn-3… q 1qn-2 qn-1… q3q2┆ ┆?埙 ┆┆ q2q3…qn-1qn-2qq2… qn-2qn-1
=q（qn-1-qn-3）q2（qn-2-qn-4）qn-3 qn-4… q 1qn-2 qn-1… q4q3┆ ┆?埙 ┆┆ q3q4…qn-1qn-2q2q3…qn-2qn-1
=q（qn-1-qn-3）q2（qn-2-qn-4）…qn-2（q2-1） q 1 qn-2qn-1 =qn（n-2）（q2-1）n
所以SFSJH（n：a，q）=anH=anqn （n-2）（q2-1）n，定理中（2）式得证。
对于定义2可以进行推广到更一般的情况。设a1，a2，…，an是n个复数，有n×n行列式PSSH（a1，a2，…an）=a1 a2… an-1ana2 a1… an-2an-1┆┆?埙 ┆┆ an-1an-2… a1 a2an an-1■… ana1
其值的计算还是一个未解决的问题，有待我们进一步探索。
参考文献：
[1]Amarnath Murthy.Smarandache Determinant Sequence[J].Smarandache Notions Journal, 2001,(12):275-278.
[2]A. A. K. Majumdar. On some Smarandache determinant sequences[J]. Scientia Magna.2008,4(2):80-95.
[3]Maohua L. Two classes of Smarandache determinants[J].Scientia Magna, 2006,2(1):20-25.
[4]杨长恩.论两类Smarandache行列式的推广[J].咸阳师范学院学报,2010,25(4):1-3.
[5]杨长恩.Fibonacci数列与对角型行列式[J].咸阳师范学院学报,2007,22(4):3-5.
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基金项目：渭南师范学院项目（11YKZ030）；陕西省教育厅项目（09JK430）。
作者简介：段卫国（1981-），男，陕西临潼人，渭南师范学院数学与信息科学学院数学系讲师，硕士，研究方向为数论。
