奥数-概率与统计师

　 点 考点 1 ：频率与概率 一、考点讲解：

　1．频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小． 2．概率的性质：P（必然事件）= 1，P（不可能事件）= 0，0<P（不确定事件）<1． 3．频率、概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率． 二、经典考题剖析：

　【考题 1－1】（2004、成都郸县，3 分）某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表，那么该班共有_______人，随机地抽取 l 人，恰好是获得 30 分的学生的概率是_______，从表中你还能获取的信息是__________________________

　 ___________ （写出一条即可）

　 解：65；如：随机抽了 1 人恰好获得 24～26 分的学生的概率为 16

　【考题 1－2】（2004、贵阳，6 分）质量检查员准备从一批产品中抽取 10 件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等．

　 （1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质检员抽取被检产品；

　 （2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品．

　 解：（1）利用计算器模拟产生随机数与这批产品编

　号相对应，产生 10 个号码即可；（3）利用摸球游戏或抽签等． 【考题 1－3】（2004、鹿泉，2 分）如图 l－6－l 是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个人球孔，如果一个球按图

　 中所示的方向被击出（球可以经过多次反射人那么该球最后将落人的球袋是（）

　 A．1 号球袋 B．2 号球袋

　 C．3 号球袋 D．4 号球袋

　 解：B 点拨：球走的路径如图 l－6－l 虚线所示． 三、针对性训练：

　 1、在对某次实验次数整理过程中，某个事件出现的频

　率随实验次数变化折线图如图 l－6－2，这个图中折线变化的特点是_______，估计该事件发生的概率为__________________.

　2．(2004，南山，3 分) 如图 l－6－5 的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（

　）

　3．(2004，南山，3 分）掷 2 枚 1 元钱的硬币和 3 枚 1 角钱的硬币，1 枚 1 元钱的硬币和至少 1 枚 1 角钱的硬币的正面朝上的概率是（

　）

　4．(2004，汉中，3 分)小红、小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定，问在一个回合中三个人都出包袱的概率是_________________ 5．(2004，贵阳，3 分）口袋中有 3 只红球和 11 只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是___________. 6． (2004，南山，5 分）周聪同学有红、黄、蓝三件 T 恤和黑、白、灰三条长裤，请你帮他搭配一下，看看有几种穿法． 点 考点 2 ：概率的应用与探究 一、考点讲解：

　1．计算简单事件发生的概率：

　列举法：

　 列表画树状图

　 2．针对实际问题从多角度研究事件发生的概率，从而获给理的猜测 二、经典考题剖析：

　【考题 2－1】（2004、南宁，3 分）中央电视台的“幸运 5 2”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标牌中，有 5 个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖．参与这个游戏的观众有 3 次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（

　）

　 1 1 1 3A .

　.

　 .

　 .2 5 5 6 2 0B C D 解：C 点拨：由于 20 个商标中共有 5 个商标注明奖金，翻 2 次均获奖金后，只剩下 3 个注明奖金的商标，又由于翻过的牌不能再翻，所以剩余的商标总数为 18 个．因此第三次翻牌获奖的概率为 16

　.

　 【考题 2－2】（2004、四省区，6 分）一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球．请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率． 解：列表如下：

　答：小亮两次都能摸到白球的概率为 19

　 三、针对性训练：

　1．在 100 张奖券中，有 4 张中奖，某人从中任抽 1 张，则他中奖的概率是（

　）

　 A、125

　 B、14

　 C、1100

　 D、120

　 2．在一所有 1000 名学生的学校中随机调查了 100 人，其中有 85 人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问 1 人，上学之前吃过早餐的概率是（

　）

　 A．0.8 5

　 B．0.085

　C．0.1

　 D．850 3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，试利用树状图和列表法，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率． 4．为了估计鱼塘中有多少条鱼，先从塘中捞出 100 条做上标记，再放回塘中，待有标记的鱼完全混人鱼群后，再捞出 200 条鱼，其中有标记的有 20 条，问你能否估计出鱼塘中鱼的数量？若能，鱼塘中有多少条鱼？若不能，请说明理由． 5．将分别标有数字 1，2，3 的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． ⑴ 随机地抽取一张，求 P（奇数）

　⑵ 随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回人再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？ 第 第 1 1 课时

　随机事件的概率1 1 ．随机事件及其概率(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 ( ) P A ．

　 (5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是 0 ( ) 1 P A   ，必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0．2 2 ．等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由 n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是1n．如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率：  P A mn例 例 1 1 ．1) 一个盒子装有 5 个白球 3 个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；(2) 箱中有某种产品 a 个正品，b 个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取 3 次，每次 1 次，求取出的全是正品的概率是（

　 ）A．33b aaCC

　B．33b aaAA

　 C．33) ( b aa

　D．33b aaAC(3) 某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？：

　解：（1）从袋内 8 个球中任取两个球共有 2828 C 种不同结果，从 5 个白球中取出 2 个白球有 1025 C 种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为1452810) (   A P（2）33) ( b aa

　 （3）73250135115CC CP

　例 例 2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2 个红球，n 个白球，两甲、乙两袋中各任取 2 个球.(1) 若 n＝3，求取到的 4 个球全是红球的概率；(2) 若取到 4 个球中至少有 2 个红球的概率为43，求 n.：

　解：（1）记“取到的 4 个球全是红球”为事件60110161) ( .25222422    CCCCA P A .（2）记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B，“取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B 1 ，“取到的 4个球全是白球”为事件 B 2 ，由题意，得) ( .41431 ) (1B P B P   221 12422222241212   nn nnnCC CCCCCCC C) 1 )( 2 ( 322 n nn) 1 )( 2 ( 6) 1 () (22224222   n nn nCCCCB Pnn所以) 1 )( 2 ( 32) ( ) ( ) (22 1   n nnB P B P B P41) 1 )( 2 ( 6) 1 ( n nn n，化简，得 7n2 －11n－6＝0，解得 n＝2，或73  n （舍去），故 n＝2.

　1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在典型例题 小结归纳

　 的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．2．如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果，其中事件 A 包含的结果有 m 种，那么事件 A 的概率  .mP An从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合 I，其中事件 A 包含的结果组成 I 的一个子集 A，因此    .Card A mP ACard I n  从排列、组合的角度看，m、n 实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．第 第 2 2 课时

　互斥事件有一个发生的概率1 1 ．

　不能同时发生的事件

　 的两个事件叫做互斥事件．2 2 ．

　必有一个发

　的两个互斥事件叫做对立事件．3 3 ．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此

　不相交

　．事件 A的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集．4 4 ．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设 A、B 是两个事件，那么 A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A 或 B 中

　至少一个发生

　就表示 A+B 发生．我们称事件 A+B 为事件 A、B 的和．它可以推广如下：“ 1 2A A A n   ”表示这样一个事件，在同一试验中，, , ,1 2A A A n 中

　即表示 1 2A A A n   发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．5 5 ．如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于

　．即 P(A+B)＝

　P(A)+P(B)

　 ．6.由于 A A  是一个必然事件，再加上 P(A+B)=P(A)+ P(B) ，故 1 P(A A) P(A) P(A)     ，于是 P( A)=

　1-P(A)

　，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．例 例 1. 某射手在一次射击训练中，射中 10 环，9 环，8 环，7 环的概率分别为 0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中 10 环或 7 环的概率；②不够 7 环的概率.解：① 0.49；② 0.03．

　例 例 2. 袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中每次任取 1 只，有放回地抽取 3 次，求：（1）3 只全是红球的概率．（2）3 只颜色全相同的概率．（3）3 只颜色不全相同的概率．（4）3 只颜色全不相同的概率．

　解：(1)记“3 只全是红球”为事件 A．从袋中有放回地抽取 3 次，每次取 1 只，共会出现 3 3 3 27    种等可能的结果，其中 3 只全是红球的结果只有一种，故事件 A 的概率为127P( A) ．

　(2) “3 只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3 只全是红球”(事件 A)；“3 只全是黄球”(设为事件 B)；“3 只全是白球”(设为事件 C)．故“3 只颜色全相同”这个事件为 A+B+C，由于事件 A、B、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得127P(B) P(C ) P( A)    ， 典型例题 基础过关

　 故19P( A B C ) P( A) P(B) P(C )       ．

　(3) 3 只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3 只颜色不全相同”为事件 D，则事件 D为“3 只颜色全相同”，显然事件 D 与 D 是对立事件．

　1 81 19 9P(D) P(D) .      

　(4) 要使 3 只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故 3 次抽到红、黄、白各一只的可能结果有1 1 13 2 16 C C C  种，故 3 只颜色全不相同的概率为

　6 227 9 ．

　1 1 ．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用． 2．要搞清两个重要公式：

　1 P( A B) P( A) P(B),P( A) P( A)      的运用前提． 3．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．

　第 第 3 3 课时

　相互独立事件同时发生的概率

　1 1 ．事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率 没有影响

　 ，这样的两个事件叫独立事件． 2 2 ．设 A，B 是两个事件，则 A·B 表示这样一个事件：它的发生，表示事件 A，B

　同时发生

　 ，类似地可以定义事件 A 1 ·A 2 ·„„A n . 3 3 ．两个相互独立事件 A，B 同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A·B) ＝

　 P(A)P(B)

　一般地，如果事件1 2 nA ,A , ,A 相互独立，那么：P(A 1 ·A 2 „„A n )＝

　 . 4 4 ．n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 1k k n kn nP (k ) C P ( P)  ．

　 例 例 1.

　如图所示，用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统1N 、2N ，当元件 A、B、C 都正常工作时，系统1N 正常工作，当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有 1 个正常工作时系统2N 正常工作，已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.8、0.9、0.9，分别求系统1N 、2N 正常工作时的概率．

　解：分别记元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C， 由已知条件 0 80 0 90 0 90 P( A) . ,P( B) . ,P(C ) .   

　(Ⅰ)因为事件 A、B、C 是相互独立的，所以，系统1N 正常工作的概率 10 80 0 90 0 90 0 648P P( A B C ) P( A) P( B) P(C ). . . .        

　故系统1N 正常工作的概率为 0.648. (Ⅱ)系统2N 正常工作的概率 小结归纳 典型例题 基础过关

　           21 11 1 0 90 0 10P P( A) P B C P A P B P C ,P B P B . . ,                 

　    21 1 0 90 0 100 80 1 0 10 0 10 0 80 0 99 0 792P C P C . . ,P . . . . . . .            故系统正常工作的概率为 0.792． 例 例 2. 箱内有大小相同的 20 个红球，80 个黑球，从中任意取出 1 个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出 1 个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：

　①求事件 A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率； ②求事件 B：“三次中恰有一次取出红球”的概率. ：

　解：（① 12516；② 12548

　1．当且仅当事件 A 与事件 B 互相独立时，才有       P AB P A P B  

　，故首先要搞清两个事件的独立性． 2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在 n 次独立重复试验中某事件发生 k 次的概率：    1n kk kn nP k C P P ，其中 P 是 1 次试验中某事件发生的概率，其实  1n kk knC P P正好是二项式  1nP P     的展开式中的第 k+1 项，很自然地联想起二项式定理．

　1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即 A 与 A ， A A  是必然事件），在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) (1 )k k n kn nP k C P P  就是二项式 [(1 ) ] n P P   展开式中的第 1 k  项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件 , A B 的概率均不为 0，1 时，“若 , A B 互斥，则 , A B 一定不相互独立”、“若 , A B 相互独立，则 , A B 一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系． 2．运用 ( ) , ( ) ( ) ( ), ( )mP A P A B P A P B P A Bn    

　P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当 , A B 为相互独立事件时，运用公式 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B    便错． 3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等． 独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：

　（1）求概率的步骤是：

　第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种． 第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件． 第三步，运用公式求得．

　（2）概率问题常常与排列组合问题相结合． 例 例 1. 袋子中有 1 个白球和 2 个红球． ⑴ 每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数  的分布列． ⑵ 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数  的分布列． ⑶ 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5 次．求取球次数  的分布列． 和 事件 等可能事件：

　( )mP An

　互斥事件：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A·B)＝0

　 独立事件：P(A·B)＝P(A)·P(B)等

　n 次独立重复试验：

　( ) (1 )k k n kn nP k C P P 

　 ⑷ 每次取 1 个球，放回，共取 5 次．求取到白球次数  的分布列． 解 ：

　⑴ 1,2,3.  

　   13122322331 11 ,31 12 ,31 13 .3PAAPAAPA       ) 2 (   P ＝31 12312AA ) 3 (   P ＝31 13322AA  所求  的分布列是

　

　1 2 3 P

　13 13 13

　⑵ 每次取到白球的概率是13，不取到白球的概率是23，  所求的分布列是 

　1 2 3 „ n

　„ P 13 2 13 3 22 13 3    „ 12 13 3n    „ ⑶ 

　1 2 3 4 5 P 13 2 13 3 22 13 3    32 13 3    423    ⑷1~ 5, ,3B     ∴ P＝(  ＝k)＝C 5k (31)k ·(32)5－k ， 其中 0,1,2,3,4,5. k 

　∴所求  的分布列是 

　0 1 2 3 4 5 P 32243 80243 80243 40243 10243 1243