一种改进的带角度约束最优制导律*

李贵栋，陆海英，李志维，韦世顺，张欧

（江南机电设计研究所，贵州 贵阳 550009）

随着精确制导武器的发展，防御系统对拦截弹提出了较高要求。针对空中目标的复杂特性，往往需要拦截弹弹道满足一定的终端角度约束，以满足特定的拦截任务需求，例如，拦截超低空目标［1-3］、反隐身目标［4］、协同拦截［5-9］等。因此，研究带终端角度约束的制导律具有十分重要的意义。

目前，对终端角度约束的制导律已有不少研究。王荣刚等［10］为定向打击高速运动目标，采用相对偏置比例导引，在比例导引基础上加入碰撞角约束及目标机动补偿实现对机动目标的定向打击。然而偏置比例导引的末端视线角速度以及过载指令往往较大，且难以实现全向角度约束。鉴于偏置比例导引末段视线角速度较大，滑模变结构控制具有较好鲁棒性，穆忠伟等［11］结合滑模变结构理论使偏置比例导引滑模变结构化，最后导弹能实现整个攻击过程中的弹目视线角速度变化较小的垂直落角攻击目标。王健等［12］采用滑模变结构和非线性反步控制的方法，通过高增益的饱和函数，结合改进的开关项系数来削弱滑模抖振的影响，以期望的攻击角度命中固定或缓慢移动目标。李琬祺等［13］通过对传统STA（spanning tree algorithm）算法进行改进以确保系统含有不确定项时在有限时间收敛，并结合自适应控制理论，设计了一种带攻击角约束的自适应STA 有限时间滑模导引律。然而结合滑模控制理论的导引律的鲁棒性本质上是由抖振交换得来，且不能保证初始段损失能量尽量小。

鉴于最优控制理论能灵活满足多约束条件，PAUL［14］采用最优控制思想设计了一种带落角约束的攻击静止目标的导引律，并通过分析表明该导引律适用于攻击机动目标，但该导引仅从期望终端视线角的角度出发，并未考虑终端视线角速率的控制效果，难以满足终端交会角约束需求，且初始段过载较大。CHI 等［15］考虑自动驾驶仪动力学中的不确定性以及加速度约束，设计了一种带终端角约束的能量最小且无末加速度约束的最优导引律。然而对于防空武器，理论上整个过程能量最少能很好完成拦截任务，但在实际空中复杂作战环境中，初始段的需用过载大往往会使拦截弹过早损失较多能量，这可能会导致难以满足后续复杂环境拦截需求，而目前还鲜有这方面的研究。

针对以上问题，本文在带角度约束最优制导律的研究基础上，考虑初始段需用过载较小，设计了一种改进的带视线角约束最优制导律；
然后基于弹目运动关系及带视线角约束的改进最优制导律特性，将终端视线角约束问题转换为终端交会角约束问题，从而得到带终端交会角约束的制导律。

拦截过程中的制导问题可用如图1 所示的线性简化动力学模型描述。

图1 制导问题线性简化动力学模型Fig.1 Simplified linear dynamic model of guidance

图1 中，Z 为零控脱靶量，表示拦截弹不加控制时的脱靶量；
下标M 和T 分别表示拦截弹和目标。

用状态方程可将该制导问题描述为

则状态方程可写成

对防空导弹而言，往往希望初始段过载相对较小，从而避免过早损失较多能量，以保证后续有更多的能量来满足复杂空域中的拦截需求。因此，对于有终端角度约束要求的对空拦截弹，需要在实现终端角度约束的同时考虑使初始段的过载能尽量小。

据此，设计控制权函数为

制导初始段，W(t) = 1 + 1/(tf- t)n的值接近1；
接近终端时刻，W(t)以和1/(tf- t)n相同的增长速率逐渐趋近∞。在取能量最小形式的目标函数情况下，该权函数既能保证制导过程初始段具有近似权函数取1/(tf- t)n且n=0 时的初始段小过载特性，又能使制导过程接近终端时刻保持权函数取1/(tf- t)n且n＞0 时能使终端视线角能收敛到期望值的特性。

此时，对应基于能量最小的目标函数为

通过最小化目标函数J，便可得到最优控制量u，即可得到拦截弹最优需用过载。

该拦截过程制导问题的终端条件可表示为

根据最优控制理论，该最优问题的最优解为

令 tgo= tf- t，则联立式（2）、（5）及（6）可得

因此，联立式（2）、式（5）～（8）可得

在小角度假设下，有

因此有

将式（14）带入式（12）可得

其中，目标加速度aT通常可利用制导站或导引头探测获取的目标信息，采用卡尔曼滤波算法等方法估计得到。

式（15）即为考虑初始段需用过载较小且带终端视线角约束的最优制导律。

拦截空中高速飞行目标，拦截任务可能需要拦截弹从目标飞行轨迹的侧面接近目标，即需要拦截弹满足一定的终端交会角约束，因此仅考虑终端视线角约束难以满足拦截需求，故还需进一步研究带终端交会角约束的导引以满足拦截需求。

对空中目标进行拦截过程中，弹目运动关系如图2 所示。

图2 弹目运动关系图Fig.2 Missile-target motion relationship

易知，弹目相对运动存在如下关系

定义期望拦截弹弹道角与目标弹道角所夹锐角为期望交会角Δθd。由图2 所示运动关系可知，在非尾追拦截下有

结合式（16）和式（18）可得

把式（17）带入式（19）可得

求解式（20）即可得到制导结束时期望终端交会角为Δθd所对应的期望视线角qf为

将式（21）带入式（15）即可得到带终端交会角约束的制导律。

设定拦截弹起始位置为（0，0），速度为1 000 m/s，初始弹道倾角为90°；
目标初始位置为（22.5×103，15.8×103）m，速度为 1 200 m/s，弹道倾角为 210°。设置期望交会角为60°；
分别采用带角度约束的偏置比例导引以及文献［16］设计的n 值取1 时的带角度约束最优制导律（下文简称最优导引）和本文推导的改进最优制导律（下文简称改进的最优导引）进行仿真，仿真步长取10 ms。

图3 给出了3 种制导律对比仿真的拦截轨迹及其局部放大图，从图中可以看出，2 种最优制导律最后都能同样的角度约束拦截趋势，但最优导引的弹道比本文推导的改进的最优导引弹道更弯曲。

图3 三种制导律的拦截轨迹图Fig.3 Interception trajectory of three guidance laws

图4 和图5 分别表示拦截过程中需用过载变化曲线和视线角速率的变化曲线。由图可知，2 种最优制导律终端视线角速率都能控制到0 附近，即都能控制视线角收敛，而偏置比例导引的终端视线角速率最终呈发散趋势，即不能控制终端视线角收敛。由过载曲线可知，本文推导的最优制导律初始段的需用过载最小，最大过载也比最优导引小，且终端时刻过载能收敛到0。

图4 过载曲线Fig.4 overload curve

图5 视线角速率变化曲线Fig.5 LOS rate curve

图6 表示实时交会角（即实时的拦截过程中拦截弹速度方向与目标速度方向所夹锐角）变化曲线。由图可知，2 种最优制导律都能很好将终端交会角控制到期望值，但本文推导的制导律能使拦截弹速度方向与目标速度方向所夹锐角较平直地控制过渡到期望的终端交会角。

图6 实时交会角变化曲线Fig.6 Calculated encounter angle curve

用拦截过程中的过载与时间轴所围成的面积表征拦截过程所用的能量。分别采用3 种制导律进行制导拦截时所消耗的能量以及脱靶量如表1 所示。由表中结果可以看出，本文推导的改进最优制导律的脱靶量最小，且整个拦截过程所用的能量比最优导引所用的能量更少。

表1 3 种制导律所用能量及脱靶量Table 1 Energy and miss distance of three guidance laws

设置目标初始位置为（80×103，60×103）m，速度为 1 200 m/s，弹道倾角为 225°（即以 45°角向下俯冲）；
拦截弹起始位置为（0，0），速度为1 000 m/s，初始弹道倾角为90°；
采用本文推导的改进最优制导律，分别设置不同期望交会角为-30°、-15°、0°、15°、30°和45°进行拦截仿真，得到图7 所示的拦截轨迹。

图7 设置不同Δθd 时的拦截轨迹Fig.7 Interception trajectory at different Δθd

由该仿真结果可以看出，本文所推导的改进制导律能根据指定期望交会角实现期望的拦截效果。

综上可知，本文所推导的改进带角度约束最优制导律能较好将交会角控制到期望值，实现期望的拦截效果，且在拦截初始段的需用过载较小，此外还能保证较高的命中精度。

带终端角度约束制导对防御系统拦截任务具有重要意义，考虑角度约束的同时考虑初始段需用过载不大，能避免拦截弹的能量过早损失，从而能较好地完成对空拦截任务。本文基于考虑视线角约束的最优制导律，推导了一种考虑初始段需用过载较小的带终端交会角约束的改进最优制导律。仿真结果表明，所设计的制导律能较好地实现终端交会角约束，命中精度也较高，能较好的满足带终端角度约束的拦截任务需求。此外，初始段的需用过载也较小，能有效避免导弹过早损失能量，以利于防空导弹的后续拦截，对防空拦截有一定的参考价值。