第 六 章
实数 （ 基础卷 ）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________ 注意事项：
本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟，试题共 23 题．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列各组有理数的大小比较中，正确的是（
）
A．﹣（﹣1）＜﹣（+2）
B．﹣|﹣3|＞﹣（﹣2）
C．﹣π＜﹣3.14 D．﹣（﹣0.3）＜﹣|﹣ |
【答案】C
【分析】利用实数比较大小的法则进行比较即可． 【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1，﹣（+2）＝﹣2， ∵1＞﹣2， ∴﹣（﹣1）＞﹣（+2），故原题错误； B、﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣2）＝2， ∵﹣3＜2， ∴﹣|﹣3|＜﹣（﹣2），故原题错误； C、∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， ∴π＞3.14， ∴﹣π＜﹣3.14，故原题正确； D、﹣（﹣0.3）＝0.3，﹣|﹣ |＝﹣ ， ∵0.3＞﹣ ， ∴﹣（﹣0.3）＞﹣|﹣ |，故原题错误； 故选：C． 【知识点】实数大小比较、相反数、绝对值
2.在实数﹣ ，﹣3.14，0，π， 中，无理数有（
）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：﹣3.14 是有限小数，属于有理数； 0 是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数； 无理数有 ，π 共 2 个． 故选：B． 【知识点】算术平方根、立方根、无理数
3.实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（
）
A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b
【答案】A
【分析】根据数轴得到 b＜a＜0＜c，根据有理数的加法法则，减法法则得到 c﹣a＞0，a+b＜0，根据绝对值的性质化简计算． 【解答】解：由数轴可知，b＜a＜0＜c， ∴c﹣a＞0，a+b＜0， 则|c﹣a|﹣|a+b|＝c﹣a+a+b＝c+b， 故选：A． 【知识点】实数与数轴、绝对值
4.已知 x 为实数，且 ＝0，则 x 2 +x﹣3 的平方根为（
）
A．3 B．﹣3 C．3 和﹣3 D．2 和﹣2
【答案】C
【分析】根据立方根和已知得出 x﹣3＝2x+1，求出 x，再求出 x 2 +x﹣3＝9，再根据平方根的定义求出即可． 【解答】解：∵x 为实数，且 ＝0， ∴x﹣3＝2x+1， 解得：x＝﹣4， ∴x 2 +x﹣3＝16﹣4﹣3＝9， ∴ ＝±3， 故选：C． 【知识点】平方根、立方根
5.若（m﹣1）
2 + ＝0，则 m﹣n 的值是（
）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】首先根据非负数的性质求出 m、n 的值，然后再代值求解． 【解答】解：由题意，得：m﹣1＝0，n+2＝0， 即 m＝1，n＝﹣2；
所以 m﹣n＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3． 故选：D． 【知识点】非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根
6.已知 ≈4.858， ≈1.536，则﹣ ≈（
）
A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数与算术平方根的关系即可直接求解． 【解答】解：236000 是由 23.6 小数点向右移动 4 位得到，则﹣ ＝﹣485.8； 故选：A． 【知识点】算术平方根
7.有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 16 时，输出的 y 是（
）
A．
B．
C．4 D．8
【答案】A
【分析】把 x＝16 代入数值转换器中计算确定出 y 即可． 【解答】解：由题中所给的程序可知：把 16 取算术平方根，结果为 4， 因为 4 是有理数，所以把 4 取算术平方根，结果为 2， 因为 2 是有理数，所以把 2 取算术平方根，结果为 ， 因为结果 为无理数， 所以 y＝ ． 故选：A． 【知识点】算术平方根
8.若规定，f（x）表示最接近 x 的整数（x≠n+0.5，n 整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则 f（1）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）的值（
）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【分析】根据 f（x）表示的意义，分别求出 f（1），f（ ），f（ ），…f（ ）的值，再计算结果即可． 【解答】解：f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（ ）＝1，f（ ）＝2，f（ ）＝2， f（ ）＝2，f（ ）＝2，f（ ）＝3，f（ ）＝3，f（ ）＝3， ∴f（1）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19， 故选：D． 【知识点】算术平方根、规律型：数字的变化类
9.如图，Rt△OAB 的直角边 OA＝2，AB＝1，OA 在数轴上，在 OB 上截取 BC＝BA，以原点 O 为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点 P，则 OP 的中点 D 对应的实数是（
）
A．
B．
C． ﹣1 D． ﹣1
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出 OB，求出 BC＝AB＝1，求出 OC＝OP＝ ﹣1，再根据线段的中点定义求出OD 即可． 【解答】解：在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB＝ ＝ ， ∵BC＝AB，AB＝1， ∴BC＝1， ∴OC＝OB﹣BC＝ ﹣1， 即 OP＝ ﹣1， ∵OP 的中点是 D， ∴OD＝ OP＝ ×（ ﹣1）＝ ， 即点 D 表示的数是 ， 故选：A． 【知识点】勾股定理、实数与数轴、黄金分割
10.若 3a﹣22 和 2a﹣3 是实数 m 的平方根，且 t＝ ，则不等式 ﹣ ≥ 的解集为（
）
A．x≥
B．x≤
C．x≥
D．x≤
【答案】B
【分析】先根据平方根求出 a 的值，再求出 m，求出 t，再把 t 的值代入不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵3a﹣22 和 2a﹣3 是实数 m 的平方根， ∴3a﹣22+2a﹣3＝0， 解得：a＝5， 3a﹣22＝﹣7， 所以 m＝49， t＝ ＝7， ∵ ﹣ ≥ ，
∴ ﹣ ≥ ， 解得：x≤ ， 故选：B． 【知识点】解一元一次不等式、平方根
11.已知数 a，b，c 的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③ ；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若 x 为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为 a﹣b．其中正确结论的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】首先判断出 b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【解答】解：由题意 b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则 ①ab+ac＞0，故原结论正确； ②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误； ③ + + ＝1﹣1+1＝1，故原结论错误； ④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误； ⑤当 b≤x≤a 时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为 a﹣b，故原结论正确． 故正确结论有 2 个． 故选：B．
【知识点】实数大小比较、绝对值、数轴
12.下列说法中正确的有（
）
①相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为 180°的两个角互为邻补角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，∠1 和∠2 是内错角； ⑥无理数都可以表示在数轴上，反过来数轴上的点都表示无理数．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】A
【分析】逐个选项进行判断，最后得出答案． 【解答】解：相等的角不一定是对顶角，对顶角是一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，因此①不正确； 有公共顶点和一条公共边，且构成平角的两个角互为邻补角；因此②不正确； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；因此③不正确； 垂线段的长度，才叫点到直线的距离，因此④不正确； 图中∠1 和∠2 不是内错角，因此⑤不正确； 无理数都可以表示在数轴上，但反过来数轴上的点都表示无理数．就不正确，因此⑥不正确； 综上所述，正确的个数为 0 个， 故选：A． 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角、无理数、点到直线的距离、垂线、实数与数轴
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.计算：（﹣1）
2018 ﹣（π﹣3.14）
0 +（ ）﹣ 2 ＝
．
【答案】4
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（﹣1）
2018 ﹣（π﹣3.14）
0 +（ ）﹣ 2
＝1﹣1+4 ＝4． 故答案为：4． 【知识点】实数的运算、负整数指数幂、零指数幂
14.对于任意两个实数 a、b，定义运算“☆”为：a☆b＝ ．如 3☆2＝ ，根据定义可得 4☆8＝
．
【分析】直接利用新定义代入计算得出答案． 【解答】解：4☆8＝ ＝2 ．
故答案为：2 ． 【知识点】实数的运算
15.对于实数 x，规定[x]表示不大于 x 的最大整数，如[4]＝4，[ ]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对 82 进行如下操作：82 [ ]＝9 [ ]＝3 [ ]＝1，这样对 82 只需进行 3 次操作后变为 1，类似地，按照以上操作，只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中，最大的正整数是
．
【答案】6560
【分析】逆向思考，先求出第 3 次参与运算的最大数，再求出第 2 次参与运算的最大数，最后求出第 1 次参与运算的最大数即可． 【解答】解：∵最后的结果为 2， ∴第 3 次参与运算的最大数为（2+1）
2 ﹣1＝8，即[ ]＝2， ∴第 2 次的结果为 8， ∴第 2 次参与运算的最大数为（8+1）
2 ﹣1＝80，即[ ]＝8， ∴第 1 次的结果为 80， ∴第 1 次参与运算的最大数为（80+1）
2 ﹣1＝6560，即[ ]＝80， 也就是，
故答案为：6560． 【知识点】估算无理数的大小
16.如果有一种新的运算定义为：“T（a，b）＝ ，其中 a、b 为实数，且 a+b≠0”，比如：T（4，3）＝ ，解关于 m 的不等式组 ，则 m 的取值范围是
．
【答案】2.1≤m＜6
【分析】转化成不等式组，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：∵ ， ∴
∵解不等式①得：m≥2.1， 解不等式②得：m＜6， ∴不等式组的解集为 2.1≤m＜6， ∵m+6﹣m≠0，2m+3﹣2m≠0， ∴2.1≤m＜6，
故答案为：2.1≤m＜6． 【知识点】解一元一次不等式组、实数的运算
共 三、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：
（1）
+|1﹣ |； （2）
．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2+ ﹣1 ＝ ；
（2）原式＝ ﹣3
＝ ﹣3
＝3 ﹣3
＝0． 【知识点】实数的运算
18.已知正数 x 的两个不同的平方根分别是 a+3 和 2a﹣15，y 的立方根是﹣1． 求（1）a 的值； （2）x﹣2y+1 的值．
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出 x 的值； （2）再根据立方根的定义，即可得到 y 的值，进而确定出 x﹣2y+1 的值． 【解答】解：（1）∵正数 x 的两个不同的平方根分别是 a+3 和 2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， 解得：a＝4； （2）由题可得，x＝（a+3）
2 ＝49，y＝（﹣1）
3 ＝﹣1， ∴x﹣2y+1＝49+2+1＝52． 【知识点】平方根、立方根
19.数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示：
（1）用“＞”或“＜”填空：
a
0，b
0，c
0，a+c
0，b﹣c
0，b+c
0．
（2）化简：|a+c|+|b﹣c|﹣|c+b|．
【答案】【第 1 空】＞ 【第 2 空】＜ 【第 3 空】＜ 【第 4 空】＜ 【第 5 空】＞ 【第 6 空】＜
【分析】（1）根据数轴得出 c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|，再比较大小即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）从数轴可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|， 所以 a＞0，b＜0，c＜0，a+c＜0，b﹣c＞0，b+c＜0， 故答案为：＞，＜，＜，＜，＞，＜；
（2）由（1）知：a+c＜0，b﹣c＞0，c+b＜0， 所以|a+c|+|b﹣c|﹣|c+b| ＝﹣a﹣c+b﹣c+c+b ＝﹣a+2b﹣c． 【知识点】绝对值、数轴、实数大小比较、有理数的减法、有理数的加法
20.计算：
（1）已知 a、b 满足（a+3b+1）
2 + ＝0，且 ＝5，求 3a 2 +7b﹣c 的平方根． （2）已知实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简 +|c﹣a|+ ； （3）已知 x、y 满足 y＝ ，求 5x+6y 的值．
【分析】（1）先根据平方、二次根式的非负性，立方根的意义，求出 a、b、c 的值，再代入求出 3a 2 +7b﹣c的平方根； （2）根据二次根式的性质即可求出答案； （3）根据二次根式有意义的条件得出 x，y 的值，代入解答即可． 【解答】解：（1）∵（a+3b+1）
2 + ＝0， ∴a+3b+1＝0，b﹣2＝0． 解得 a＝﹣7，b＝2． ∵ ＝5， ∴c＝125． ∵3a 2 +7b﹣c
＝3×（﹣7）
2 +7×2﹣125 ＝147+14﹣125 ＝36， ∴3a 2 +7b﹣c 的平方根为±6； （2）由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c| ＝﹣a+（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a+c﹣a﹣b+c ＝﹣2a﹣b+2c；
（3）根据题意可得：
， 解得：x＝﹣3， 把 x＝﹣3 代入 y＝y＝ ＝﹣ ， 把 x＝﹣3，y＝﹣ 代入 5x+6y＝﹣15﹣1＝﹣16． 【知识点】立方根、二次根式有意义的条件、平方根、非负数的性质：算术平方根、实数与数轴、非负数的性质：偶次方
21.阅读下列材料，然后回答问题：
对于实数 x、y 我们定义一种新运算 L（x，y）＝ax+by，（其中 a、b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为 L（x，y），其中 x、y 叫做线性数的一个数对，若实数 x、y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的 x、y 叫做正格线性数的正格数对． （1）若 L（x，y）＝x+3y，则 L（2，1）＝
，L（ ， ）＝
； （2）已知 L（x，y）＝3x+by，L（ ， ）＝2，若正格线性数 L（x，kx）＝18（其中 k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．
【答案】【第 1 空】5 【第 2 空】3
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题中的新定义化简已知等式，由 x，y 都为正整数，k 为整数，确定出所求即可． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：L（2，1）＝2+1×3＝2+3＝5，L（ ， ）＝ +3× ＝3； 故答案为：5；3； （2）根据题中的新定义化简 L（ ， ）＝2，得：3× + b＝2， 解得：b＝2，
化简 L（x，kx）＝18，得：3x+2kx＝18， 依题意，x，y 都为正整数，k 是整数， ∴3+2k 是奇数， ∴3+2k＝1，3，9， 解得：k＝﹣1，0，3， 当 k＝﹣1 时，x＝﹣18，kx＝﹣18，舍去； 当 k＝0 时，x＝6，kx＝0，舍去； 当 k＝3 时，x＝2，kx＝6， 综上，k＝3 时，存在正格数对 x＝2，y＝6 满足条件． 【知识点】实数的运算
22.定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数 a，b，a*b 总有意义； ②对于任意的实数 a，均有 a*a＝0； ③对于任意的实数 a，b，c，均有 a*（b*c）＝a*b+c． （1）填空：1*（1*1）＝
，2*（2*2）＝
，3*0＝
； （2）猜想 a*0＝
，并说明理由； （3）a*b＝
（用含 a、b 的式子直接表示）．
【答案】【第 1 空】1 【第 2 空】2 【第 3 空】3 【第 4 空】a 【第 5 空】a-b
【分析】（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1，2*（2*2）＝2*2+2＝2，3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3，即可求解； （2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a，即可求解； （3）a*（b*b）＝a*b+b，即 a*0＝a*b+b，而 a*0＝a，即可求解． 【解答】解：（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1， 2*（2*2）＝2*2+2＝2， 3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3 故答案为：1，2，3； （2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a， 故答案为 a； （3）a*（b*b）＝a*b+b，即 a*0＝a*b+b， 而 a*0＝a， 故 a*b＝a﹣b． 【知识点】实数的运算
23.操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点 1 与﹣1 重合，则﹣2 表示的点与
表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1 表示的点与 3 表示的点重合，回答以下问题：
①5 表示的点与数 ﹣ 表示的点重合； ② 表示的点与数 ﹣
表示的点重合； ③若数轴上 A、B 两点之间距离为 9（A 在 B 的左侧），且 A、B 两点经折叠后重合，此时点 A 表示的数是 ﹣
、点 B 表示的数是
（3）已知在数轴上点 A 表示的数是 a，点 A 移动 4 个单位，此时点 A 表示的数和 a 是互为相反数，求 a的值．
【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （2）求出﹣1 表示的点与 3 表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数； （3）分两种情况进行解答，向左移动 4 个单位，向右移动 4 个单位，列方程求解即可． 【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点 1 与﹣1 重合，折叠点对应的数为 ＝0，设﹣2 表示的点所对应点表示的数为 x，于是有 ＝0，解得 x＝2， 故答案为 2； （2）折叠纸面，使表示的点﹣1 与 3 重合，折叠点对应的数为 ＝1， ①设 5 表示的点所对应点表示的数为 y，于是有 ＝1，解得 y＝﹣3， ②设 表示的点所对应点表示的数为 z，于是有 ＝1，解得 z＝2﹣ ， ③设点 A 所表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，由题意得：
＝1 且 b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5，5， 故答案为：﹣3，2﹣ ，﹣3.5，5.5； （3）①A 往左移 4 个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2． ②A 往右移 4 个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2． 答：a 的值为 2 或﹣2． 【知识点】实数与数轴、实数的性质
