二维相控阵雷达波束空间扫描计算与分析

郑东卫 白亚莉

(1.西安电子工程研究所 西安 710100；

2.西安昆仑工业(集团)有限责任公司 西安 710043)

相控阵雷达可以按需求在指定方向形成波束，它具有灵活、精度高并且抗干扰能力强的特点。在相控阵雷达系统设计中, 波束空间扫描排布是非常重要的,关系到相控阵雷达系统的空域探测范围及威力的发挥。一般雷达系统需求给出的是雷达站球坐标系下的方位和俯仰扫描范围，在空域扫描范围内具体安排几个波位，各波位之间如何分布以及在哪种坐标系下计算与分析较为方便，这些问题值得计算和研究。现通过分析不同坐标系之间关系，研究相控阵雷达波束空间扫描的排布。

假设一垂直放置的M行N列的二维数字相控阵雷达天线，Z轴为阵列的法线，XOY平面为雷达阵面所在平面，见图1所示。将阵面中心设置在坐标系原点O处，则阵列从左至右X轴上每列阵元的xm坐标为

图1 二维阵列雷达天线的坐标系示意图

xm=(m-0.5(M+1))dx，m=1,…,M

(1)

从下至上Y轴上每行阵元的yn坐标为

yn=(n-0.5(N+1))dy，n=1,…,N

(2)

所有阵元的Z轴坐标均为0，其中dx和dy分别为阵列水平维和垂直维的阵元间距。每个阵源的配相φ为[1]

(3)

其中u、v为正弦空间坐标系下的分量，与分析的坐标系有关，将在下文中讨论。

在球面坐标系中研究雷达波束排列分布比较困难，因为在球面坐标系中阵列天线波束扫描时，扫描角偏离法线方向波束将展宽且展宽与扫描角间的关系为非线性。将球面坐标系下单元球面向阵列平面上的投影所得到的为正弦空间[2]，而在正弦空间坐标系中,因为波束扫描后波束展宽与扫描角余弦成反比而扫描波束宽度在阵列天线的投影和扫描角余弦成正比，两者形成互逆关系从而产生相互抵消效果，所以相控阵天线方向图的形状在正弦空间坐标系下是不随扫描角的变化而变化的,只与相邻辐射单元的相差延迟成比例平移[3]。所以研究阵列排布一般在正弦空间坐标系下进行。如果天线阵面与雷达站之间存在倾角，还需要在直角坐标系下进行坐标旋转。所以要分析雷达的波束排布需要经过如下几个步骤。

1)步骤一：根据雷达球坐标系下得方位和俯仰空域扫描范围计算正弦空间坐标系下波束扫描范围。

2)步骤二：在正弦空间坐标系下计算波束个数，波束宽度，波束排布在正旋空间按等间隔排布。

3)步骤三：在正弦空间坐标系下进行倾角坐标旋转。

4)步骤四：将正弦空间坐标系下波束排布转换到天线阵面球坐标下得天线扫描波束排布，计算发射和接收天线配相系数。

5)步骤五：将正弦空间坐标系下波束排布转换到雷达站球坐标系下可以看到波束排布和波束展宽情况。

下面分别介绍各个环节的过程。

2.1 三种不同球坐标系与正弦空间坐标系的关系

研究二维阵列雷达常用下面几个坐标系：球坐标系、直角坐标系、正弦空间坐标系。球坐标系下涉及的分量有：R，θEL，θAZ，θZ，φ，θA。直角坐标系下涉及的分量有：x,y,z。正弦空间坐标系下涉及的分量有：u,v,w,u1,v1,w1。下文会分别说明各个分量的物理意义。当涉及坐标轴旋转变换时，需要在直角坐标系下转换，当球坐标在单位球内时，可将直角坐标系和正弦空间坐标系统一，直接在正弦空间坐标系下进行旋转变换。文中都是在单位球内讨论的。在球坐标系下，目标向三个不同的平面投影以及与不同平面坐标轴的夹角可分为雷达站球坐标系，天线阵面坐标系，天线阵面锥角坐标系和对应的正弦空间坐标系。下面分析每种坐标系与正弦空间坐标系的对应关系。

2.1.1 雷达站球坐标系

在单位球的雷达站球坐标系下，空间目标R到平面XOZ的投影点Pxz，R与平面XOZ的夹角为θEL，投影点Pxz与z轴夹角为θAZ。

图2 雷达站球坐标系示意图

R点到X轴Y轴Z轴的正弦空间坐标系的坐标分量为

(4)

同样知道了正弦空间坐标系分量也可计算雷达站球坐标系的分量如式(5)所示。

(5)

2.1.2 天线阵面坐标系

在天线阵面坐标系下，空间目标R到阵面平面XOY的投影点Pxy，R与z轴的夹角为θZ，投影点Pxy与x轴夹角为φ。

图3 天线阵面坐标系示意图

R点到x轴y轴z轴的正弦空间坐标系的坐标分量为

(6)

同样知道了正弦空间坐标系分量也可计算天线阵面球坐标系的分量为

(7)

2.1.3 天线锥角坐标系

在天线锥角坐标系下，空间目标R到平面YOZ的投影点Pyz，R与平面YOZ的夹角为θA，R与平面XOZ的夹角为θEL。

图4 天线锥角坐标系示意图

R点到x轴y轴z轴的正弦空间坐标系的坐标分量为

(8)

同样知道了正弦空间坐标系分量也可计算天线锥角球坐标系的分量为

(9)

2.2 坐标旋转

天线阵面在直角坐标系下沿不同的坐标轴旋转可得到三种旋转变换[4]。将天线阵面沿X轴旋转，即旋转前后X坐标未发生变换，Y轴和Z轴坐标发生了变换，这种旋转通常称为纵摇变换。通常天线阵面在装配到雷达站上后都有一个倾斜角，此处倾斜角为θP。将天线阵面沿Y轴旋转，即旋转前后Y坐标未发生变换，X轴和Z轴坐标发生了变换，这种旋转通常称为方位旋转变换，此处方位旋转角为θY。将天线阵面沿Z轴旋转，即旋转前后Z坐标未发生变换，X轴和Y轴坐标发生了变换，这种旋转通常称为横摇变换，此处横摇角为θR。

图5 坐标轴旋转示意图

沿X轴旋转后，新的坐标与原坐标之间关系记作[P]为

(10)

沿Y轴旋转后，新的坐标与原坐标之间关系记作[Y]为

(11)

沿Z轴旋转后，新的坐标与原坐标之间关系记作[R]为

(12)

二维相控阵雷达的波位安排要先根据方程计算方位和俯仰波束宽度，再根据雷达方位和俯仰测角范围确定扫描范围，然后根据3dB交叠计算覆盖扫描空域需要的波束个数。当波束俯仰角为φ，波束方位指向θ时，在正旋空间的最大扫描边界为一个单位圆。在不考虑相邻波束交叠造成的损失时，在雷达站球坐标系下仰角扫描范围定义为φmin～φmax,对应正旋空间波束在仰角排列波束个数为[5]

(13)

方位扫描范围定义为θmin～θmax,对应正旋空间波束在方位排列波束个数如式(14)所示[5]。

(14)

根据波束扫描范围及波束个数，可以等间隔产生正弦空间坐标系下的坐标分量u,v。

在正弦空间计算波束排布，俯仰波束在正弦空间等间隔分布，与方位角无关。方位波束在同一俯仰层等间隔排布，与俯仰角无关。然后根据

u2+v2+w2=1

(15)

可计算出正弦空间坐标系下的坐标分量w值。

接着可根据式(10)、式(11)、式(12)可计算出坐标旋转后的正旋空间坐标u1,v1,w1。

(16)

然后根据式(7)可计算出天线阵面球坐标系的分量θZ，φ。然后根据式(6)计算天线阵面球坐标系下u，v，w分量。最后可以根据式(3)计算阵列雷达的接收和发射配相φ值。同时也可根据式(5)计算雷达球坐标系下的方位角θAZ和俯仰角θEL，分析波束在雷达站球坐标系下的分布和展宽。

现分析一个8×8的雷达矩形天线面阵，天线在俯仰上与雷达站有30°倾角。要求雷达球坐标系下在方位扫描为±45°，俯仰扫描为0°到30°时计算在正弦空间坐标系u,v分量上的波束排布。方位俯仰波束宽度为9.0406°。方位上分9个波束，俯仰上可分3层。方位上增大了相邻波束交叠目的为了提高测角精度。

下面先讨论天线阵面与雷达站之间没有倾角时的正弦空间坐标系和雷达站球坐标系下的波束分布特性。

根据表1、表2及图6、图7可以得出在雷达俯仰没有倾角时，在正弦空间坐标系下，u,v空间分量等间隔分布。而在雷达站球面坐标系下每一俯仰层，方位波束排布都不是等间隔。远离法线，波束展宽越大，不同俯仰层，方位展宽不同。同一方位上俯仰层中心指向也不是等间隔排布。

表1 正弦空间坐标系下无雷达倾角时波束空间排布

表2 雷达站球坐标系下无雷达倾角时波束空间排布

图6 正弦空间坐标系下无雷达倾角时波束空间排布

图7 雷达站球坐标系下无雷达倾角时波束空间排布

下面讨论天线阵面与雷达站之间有30°倾角时的正弦空间坐标系和雷达站球坐标系下的波束分布特性。

当雷达阵面在与雷达站之间有30°倾角时，即阵面沿x轴旋转30°时可得到表3、表4、图8、图9的结果。可以看出有30°倾角时，在正弦空间坐标系下不同的v层u分量等间隔分布。不同的u分量v分量不同，v分量向上产生一个弧形。在雷达站球坐标系下不同俯仰层波束方位展宽不同，不同方位波束俯仰中心位置也不同，俯仰向上产生了一个弧形。最终结果满足雷达系统方位和俯仰的设计需求。在不同频点时方位和俯仰排布略有偏差，可以通过测试天线方向图来得到不同频点的修正值。

表3 正弦空间坐标系下有雷达倾角30°时波束空间排布

表4 雷达站球坐标系下有雷达倾角30°时波束空间排布

图8 正弦空间坐标系下有雷达倾角30°时波束空间排布

图9 雷达站球坐标系下有雷达倾角30°时波束空间排布

本文分析了相控阵雷达坐标变换及坐标旋转，分析了不同坐标系与正弦空间坐标系的关系。研究了正弦空间坐标系下的波束空间排布，在天线阵面坐标系下进行的配相以及在雷达站球坐标系下波束展宽分布等。文中给出了实际工程设计中的仿真结果，为雷达波束空域覆盖提供了设计参考。