摘 要：辨析初等数论中若干问题：0是否为一位数；自然数的分类；佩亚诺（G.Peano）的自然数公理；数学归纳法；前 个自然数中 的倍数的个数公式等。
关键词： 一位数；自然数；自然数公理
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）15-0050-01
0.引言
1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100～3102-93）《量和单位》（11-2.9第311页）规定了自然数包括0，具有其合理性，但也带来一些争议，以下就有关“0”及由其引起的一些问题做些剖析。
1. 0并非一位数。
我们说一个数是 位数，应是：该数为非负整数，占有个数位且首位非0。如果没有“首位非0”的规定，一个数是几位数就说不清楚了。因此最小的一位书应该是1而不是0[1]。
2.自然数的分类。
小学教材都把自然数分为：1；质数；合数；三类。现在自然数集合有了0，则应该分为四类。0单独作为一类。
3.自然数公理。
1889年，意大利数学家佩亚诺（G.Peano）建立的自然数公理：
“这里要使用两个形式符号：1和1"，它们要满足以下5条公理：
（1）1是自然数；（2）每个自然数a都有一个后继数a"；（3）1不是任何自然数的后继数；（4）若a"=b"则a=b（5）（归纳公理）自然数的某个集合若含1，而且如果含一个自然数a就一定含a" ，那么这个集合含全体自然数”
现在自然数集合有了0，则以上公理中的1全得改为0。
4.数学归纳法。
我们知道，佩亚诺（G.Peano）建立的自然数公理是数学归纳法的逻辑依据，现在公理改了，数学归纳法也得相应更改，以往奠基是证明n=1时命题真，现在得改为证明n=0时命题真。
5.前a个自然数中n的倍数的个数。
以前，自然数集合中没有0，则前a个自然数中n的倍数的个数为■ ，现在自然数集合中有了0，则前a个自然数中 n的倍数的个数应为1+■ ，因为现在前a个自然数应该是：0，1，2， ……，a-1。
以下是[2]的一道例题：
前100个自然数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，还不是5的倍数的数有多少个？
解 前100个自然数中，
2的倍数有■=50（个），3的倍数有■=33（个），5的倍数有■=20（个），同时是2和3的倍数有■=16（个），同时是3和5的倍数有■=6（个），同时是2和5的倍数有■=10（个），同时是2，3，5的倍数有■=3（个），故既不是2的倍数，也不是3的倍数，还不是5的倍数的数有100－（■+ ■+ ■）+（■+ ■+■）－ =100－（50+33+20）+（16+6+10）－3
=26（个）。
本题默认前100个自然数为：1，2， 100。由于100是2的倍数（也是5的倍数），因此在计算时用容斥原理把它排除了。而如果认定前100个自然数为：0，1，2， 99，则由于0是2的倍数（也是3、5的倍数），因此在计算时用容斥原理同样得把它排除，因此两种认定，结果是一样的。但有时结果却不一样。
用容斥原理时没排除掉，后面的解法中，把2001换成0了，由于0是5的倍数（也是7的倍数），因此用容斥原理时排除掉了。
把0当作自然数，引起了不少争议问题，主要原因是小学数学中一直没把0当作自然数，建议小学教材中要强调“0是自然数”。
参考文献
[1]张奠宙等.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009.1,37-38
[2]赵继源.初等数论[M].南宁:广西师范大学出版社,2001.9,51-52
