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摘要：通过对衍射屏透光函数进行二维傅里叶变换和离散型快速傅里叶变换，分别得到矩孔夫琅禾费衍射的光强分布的解析表达式和数值结果。然后借助Matlab软件强大的作图功能实现了两种情况下光强分布的可视化仿真，具体分析了衍射图像随矩形孔径大小的变化情况。最后通过将数值解和解析解直接比较，指出提高数值解图像分辨率保证结果有效可靠的关键性因素是对输入信号进行适当的补零。
关键词：夫琅禾费衍射；快速傅里叶变换；图像分辨率
中图分类号：O4361文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0006-04
1二维夫琅禾费衍射理论
衍射是光具有波动性的重要表现形式，其本质是光波在传播中遇到障碍物时，障碍物对波前的扰动会引起光波场的复振幅和相位的空间调制特征。根据光源、衍射屏和接收屏三者之间的相对位置，可以将衍射分为两大类。一类是光源和接收屏或者两者之一距离衍射屏有限远，这种衍射叫菲涅尔衍射，又叫近场衍射；另外一类是光源和接收屏都距离衍射屏无限远，这类衍射叫夫琅禾费衍射，又叫远场衍射。夫琅禾费衍射可以看作菲涅尔衍射的特殊情形，由于其计算相对简单且能够反映衍射的一些基本特征，因而被广泛研究。众多的文献资料中[1- 2]，用菲涅尔半波带法讨论单缝夫琅禾费衍射就是学习衍射的一个很好的例子。但是由于菲涅尔半波带法涉及到对波前的有限分割，这种分割波前的粗糙性也就造成了其不足之处。虽然采用半波带法可以揭示单缝衍射的明暗纹的位置和角宽度，但是对于接收屏上光强的分布却是无能为力的。实际上，定量计算接收屏上衍射光波场的光振动和光强分布需要用到菲涅尔-基尔霍夫积分公式[3]，其直角坐标下的二维形式可如下建立。将平面型衍射屏Σ和接收屏平行放置，衍射屏和接收屏分别位于（ξ，η）平面和（x，y）平面，且二者共用一条z轴，z轴的O点位于衍射屏的中心，两屏之间的距离为z0（见图1）。
图1光的二维衍射示意图
用波长为λ的平面单色波垂直照射衍射屏Σ， 在接收屏上任一点P1产生的光场复振幅可以如下表达，
UP1=1iλΣUP0eik·r01r01cos θds （1）
式（1）中：UP0为入射光场在衍射屏上任意一子波源P0处的光学复振幅，对于均匀透光的衍射屏，UP0一般是个常数；r01为P0到P1之间的距离；ds为衍射屏上包含P0的面元；θ为面元法向量和位矢r01之间的夹角。
由于cos θ=z0/r01，代入式（1）得
UP1=z0iλΣUP0（ξ，η）eik·r01r201 dξdη （2）
直接计算形如式（2）的积分是非常困难的。在实际问题中，可以同时应用傍轴条件和远场条件，将上述积分化为最简单的夫琅禾费积分形式。在傍轴条件（x2，y2，ξ2，η2z20）下，将r01用直角坐标分量来表达并作泰勒展开，即
r01=z20+（x-ξ）2+（y-η）2=
z0[1+12（x-ξz0）2+12（y-ηz0）2-18（x-ξz0）4-18（y-ηz0）4+…]
式（2）中被积函数的分母r01取零级近似，即r01≈z0，而处在分子e指数中r01取一级近似，即
r01≈z0[1+12（x-ξz0）2+12（y-ηz0）2]
这种近似处理主要在于，分子中的r01位于指数项中且与其相乘的因子k=2π/λ是个非常大的数。将这些近似项代入到式（2）中得
UP1=eikz0iλz0 eik2z0（x2+y2）∫∞-∞∫∞-∞U（ξ，η）eik2z0（ξ2+η2）
e-ikz0（xξ+yη）dξdη （3）
然后对式（3）进一步使用远场近似（又叫夫琅禾费近似），即z0k（ξ2+η2）max/2，则
eik2z0（ξ2+η2）1
于是接收屏上任意一点（x， y）的衍射光振动的复振幅为
U（x，y）=eikz0iλz0 eik2z0（x2+y2）∫∞-∞∫∞-∞U（ξ，η）
e-ikz0（xξ+yη）dξdη （4）
式（4）就是二维夫琅禾费衍射的光振动的复振幅的积分表达式，而其中的积分实际上就是衍射屏透光函数的二维傅里叶变换。空域分布函数U（ξ，η）通过二维傅里叶变换得到空间频率分布函数，相应的频率成分分别为ωx=k·x/z0，ωy=k·y/z0。
一般来讲，接收屏上衍射的复振幅不是物理上可以测量的量，真正可以测量的是接收屏上的光强分布，它等于复振幅的模方，即，
I（x，y）=U（x，y）U*（x，y）=
1（λz0）2"F[U（ξ，η）]|2ωx=kx/z0，ωy=ky/z0 （5）
式（5）中F[U（ξ，η）]表示衍射屏透光函数U（ξ，η）的二维傅里叶变换。需要注意的是，上述讨论的是夫琅禾费衍射的原型，即要求接收屏放在无穷远处，在实验室中实现这样的原型装置是很困难的。观察夫琅禾费衍射一般做法是在衍射屏后放上一块凸透镜，而接收屏要求放置在透镜的后焦平面上接收衍射光，此时式（5）要稍作修改，将其中的z0换为透镜焦距f即可，于是，
I（x，y）=U（x，y）U*（x，y）=
1（λf ）2|F[U（ξ，η）]|2ωx=kx/f，ωy=ky/f （6）
2矩孔夫琅禾费衍射的解析解
1） 光强的解析表达式。 从式（6）可以看出， 能否求出夫琅禾费衍射的光强表达式， 关键是得到衍射屏透光函数的Fourier变换的解析形式， 而这跟透光孔的几何形状有关。 矩形孔径的衍射屏是为数极少的能够得到衍射光强解析解的一个典型。 求解矩孔夫琅禾费衍射的光强表达式不仅可以加深对惠更斯-菲涅尔原理的理解， 而且对于衍射现象的重要特征的揭示也是有帮助的。 另外， 由于单缝衍射可以看作矩孔衍射的极限情景， 因而可以很方便的从矩孔夫琅禾费衍射的结果给出单缝夫琅禾费衍射的光强分布规律， 这些都是菲涅尔半波带法所不能及的。
矩形孔透光函数可由如下的矩形函数[4]给出：
U（ξ，η）=rect（ξa）rect（ηb）（7）
式（7）中a和b分别为矩形孔沿ξ和η方向的宽度。
矩孔内部的光振动的幅度为1，孔外都为0。该透光函数的傅里叶变换为[4]
F[U（ξ，η）]=ab sin c（axλf）sin c（byλf）（8）
式（8）中：sin c为辛格函数，其定义为sin c（x）=（sin πx）/（πx）。
将式（8）代入式（6）得接收屏上的光强分布为
I（x，y）=I0sin c2（axλf）sin c2（byλf） （9）
式（9）中：I0=（ab/λf）2为接收屏中心点的光强。
衍射屏上相对光强I/I0的二维分布如图2所示。此处选择矩形孔径的长宽之比为a/b=1/2。衍射图的最明显特征就是，由于x方向光束受到的限制要大于y方向，衍射图样明显向x方向扩展，使得沿x方向衍射条纹的数目明显少于y方向。
图2b=2a时屏上光强的二维分布图衍射屏上光强沿x轴的分布情况如图3所示，可以清楚的看出，中央明纹的线宽度Δx=2λf/a，此值为其它所有明纹线宽度的两倍。衍射光强主要集中在中央明纹区域，两边一级明纹的最大光强只有I0的47 %，二级明纹的最大光强为I0的17 %，这与单缝衍射实验结果是相符的。
图3b=2a时光强沿x轴的分布2） 孔径大小对衍射条纹的影响。影响衍射效应的因素有很多，如衍射屏的尺寸、观察的距离和方式、光源的强度等等[5-6]。但最主要的因素是衍射屏的尺寸ρ和入射光波长λ之间相对关系。一般来说，要使衍射效应明显，衍射屏的尺寸ρ应该介于10λ～103λ之间[7]。孔径太大，衍射效应不明显，太小则会使光的行为走向散射。
在入射光波长λ和透镜焦距f不变的情况下改变方孔的大小得到的衍射图像如图4所示。此处λ=500 nm， f=1 m。随着方孔孔径的增大，衍射效应逐渐减弱，表现为条纹变窄，数目变多。当孔径增大到001 m时，衍射条纹几乎收缩为一个几何像点（见图4c），意味着光的传播行为从衍射变为直线传播。
a=b=00005 m a=b=0002m
（a）（b）
a=b=001 m
（c）
图4方孔的二维衍射图3矩孔夫琅禾费衍射的数值解
对称性较低或者是任意形状的衍射屏，由于其对应的透光函数的傅里叶变换无法积分求出，因而得到光强的解析表达式几乎是不可能的。但是，Matlab软件所提供的快速傅里叶变换函数可以非常方便的求出问题的数值解。尽管离散型快速傅里叶变换的算法比较复杂，但只需要调用与快速傅里叶变换相关的函数来进行光强的数值仿真，而不去钻研背后的数值方法的细节，这对于进一步研究衍射现象及其应用都是非常有意义的。
为了获得矩孔夫琅禾费衍射的基于快速傅里叶变换的数值解，首先需要构建矩形孔径的数值衍射屏。构建a/b=1/2的矩形孔径如图5所示，中间的矩形区域是透光区域，透射光振幅为设为1，其它黑色部分为不透光区域，对应的透射振幅为0。该衍射屏基于快速傅里叶变换的衍射图与解析结果（见图2）非常一致，这也从一个侧面说明了数值解的准确性。
图5数值矩孔示意图及其基于快速傅里叶变换的衍射图
数值仿真构建的一般都是有限大小的衍射屏，这种有限性意味着衍射屏上不透光点的数目是有限的。在衍射孔径不变的情况下，如果孔径四周的不透光点数目较少，则得到图像非常模糊，分辨率明显下降（见图6）。这是夫琅禾费衍射的数值仿真有区别于解析解仿真的地方，因为在解析解中，衍射屏是用矩形函数来表示的，对应的衍射屏是无限扩展的。所以，为了保证数值解的结果精确可靠，透光孔的周围必须具备较大的不透光区域，由于不透光区域对应的透射光振幅为0，故把添加不透光点的做法叫数值补零。
图6数值0点少的矩孔及其基于快速傅里叶变换的衍射图
4结论
根据惠更斯-菲涅尔原理推导出二维夫琅禾费衍射光强的积分表达式，并将其应用到矩孔衍射屏，采用连续性傅里叶变换和离散型快速傅里叶变换两种方法应用Matlab软件的编程分别实现衍射光强的解析结果与数值结果完全吻合。这种计算机仿真方法拓宽了了研究衍射问题的方法和途径，对于波动光学中关于衍射问题的辅助教学很有帮助。
参考文献：
[1]赵近芳，王登龙，颜晓红. 大学物理学[M].第3版.北京：北京邮电大学出版社，2012：166-169.
[2]赵凯华，钟锡华. 光学[M]. 北京：北京大学出版社，1984：209-213.
[3]GOODMAN J.Introduction to Fourier optics[M].New York：The McGraw-Hill Companies，INC，1996：65-66.
[4]梁昆淼. 数学物理方法[M].第4版. 北京：高等教育出版社，2010：75-76.
[5]喻力华，赵维义.圆孔衍射光强分布的数值计算[J]. 大学物理， 2001， 20（1）： 16-19.
[6]任庭准，刘翠红. 菲涅尔衍射的数值计算[J]. 大学物理， 2007， 26（11）： 60-63.
[7]赵凯华，钟锡华. 光学[M]. 北京：北京大学出版社，1984：182-185.
（责任编辑：何学华）
